Spiegelung einer Ebene < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] H_{1} [/mm] bezeichne im [mm] E_{3} [/mm] die Ebene:
[mm] H_{1}: \bruch{1}{\wurzel{2}}x_{2}+\bruch{1}{\wurzel{2}}x_{3}=-\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
und [mm] H_{2} [/mm] die durch die Punkte
A=(1,2,0),B=(4,0-5),C=(-1,3,2)
aufgespannte Ebene.
a)Berechnen Sie die Spiegelung A' von A an [mm] H_{1}.
[/mm]
b)Geben sie Hesse-Normalform der Ebene [mm] H_{2} [/mm] an.
c)Bestimmen sie den Winkel [mm] \alpha [/mm] zwischen [mm] H_{1} [/mm] und [mm] H_{2} (0<\alpha<\bruch{pi}{2}) [/mm] |
Hallo.
Auch hier habe ich wieder mal Fragen:
a) Meine Vorgehensweise:
[mm] n=\vektor{0\\\bruch{1}{\wurzel{2}}\\\bruch{1}{\wurzel{2}}}
[/mm]
Aufstellen einer Geradengleichung die senkrecht zur Ebene steht und durch die Punkte A, A' und S geht, wobei S ein beliebiger Punkt in der Ebene ist.
g:X= [mm] \vektor{1\\2\\0}+n*t
[/mm]
Geradengleichung in Ebenengleichung einsetzen liefert [mm] t=\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Für S erhalte ich [mm] \vektor{1\\2.5\\0.5}
[/mm]
Jetzt bilde ich die Differenz von S und A und bilde damit eine Geradegleichung:
[mm] g:X=\vektor{1\\2\\0}+\vektor{0\\0.5\\0.5}*t
[/mm]
Für die Spiegelung setze ich 2=t
Damit ist [mm] A'=\vektor{1\\3\\1}
[/mm]
b) Ich habe die Vektoren [mm] \vektor{3\\-2\\-5}=v [/mm] und [mm] u=\vektor{-1\\1\\2} [/mm] die die Ebene [mm] H_{2} [/mm] mit A aufbauen.
Gegeben ist als Lösung:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{18}}*(ax_{1}+bx_{2}+cx_{3})=\bruch{3}{\wurzel{2}}
[/mm]
Für [mm] n=\vektor{\lambda\\-\lambda\\lambda} [/mm] Auflösen des LGS mit [mm] n_{3}=\lambda
[/mm]
Damit hat man den Normalenvektor.
Aber hier weiß ich dann gerade nicht weiter. Der feststehende Ausdruck stört mich etwas.
c) Hier habe ich nicht mal eine Idee :(
Habt ihr Vorschläge.
Grüße
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Hallo Masseltof,
> [mm]H_{1}[/mm] bezeichne im [mm]E_{3}[/mm] die Ebene:
> [mm]H_{1}: \bruch{1}{\wurzel{2}}x_{2}+\bruch{1}{\wurzel{2}}x_{3}=-\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> und [mm]H_{2}[/mm] die durch die Punkte
> A=(1,2,0),B=(4,0-5),C=(-1,3,2)
> aufgespannte Ebene.
>
> a)Berechnen Sie die Spiegelung A' von A an [mm]H_{1}.[/mm]
> b)Geben sie Hesse-Normalform der Ebene [mm]H_{2}[/mm] an.
> c)Bestimmen sie den Winkel [mm]\alpha[/mm] zwischen [mm]H_{1}[/mm] und [mm]H_{2} (0<\alpha<\bruch{pi}{2})[/mm]
>
> Hallo.
>
> Auch hier habe ich wieder mal Fragen:
>
> a) Meine Vorgehensweise:
>
> [mm]n=\vektor{0\\\bruch{1}{\wurzel{2}}\\\bruch{1}{\wurzel{2}}}[/mm]
>
> Aufstellen einer Geradengleichung die senkrecht zur Ebene
> steht und durch die Punkte A, A' und S geht, wobei S ein
> beliebiger Punkt in der Ebene ist.
>
> g:X= [mm]\vektor{1\\2\\0}+n*t[/mm]
>
> Geradengleichung in Ebenengleichung einsetzen liefert
> [mm]t=\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
Hier erhalte ich einen anderen Wert für t.
> Für S erhalte ich [mm]\vektor{1\\2.5\\0.5}[/mm]
>
> Jetzt bilde ich die Differenz von S und A und bilde damit
> eine Geradegleichung:
> [mm]g:X=\vektor{1\\2\\0}+\vektor{0\\0.5\\0.5}*t[/mm]
>
> Für die Spiegelung setze ich 2=t
> Damit ist [mm]A'=\vektor{1\\3\\1}[/mm]
>
> b) Ich habe die Vektoren [mm]\vektor{3\\-2\\-5}=v[/mm] und
> [mm]u=\vektor{-1\\1\\2}[/mm] die die Ebene [mm]H_{2}[/mm] mit A aufbauen.
>
Die 1. Komponente des Richtungsvektors u stimmt nicht.
> Gegeben ist als Lösung:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{18}}*(ax_{1}+bx_{2}+cx_{3})=\bruch{3}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> Für [mm]n=\vektor{\lambda\\-\lambda\\lambda}[/mm] Auflösen des LGS
> mit [mm]n_{3}=\lambda[/mm]
>
> Damit hat man den Normalenvektor.
>
> Aber hier weiß ich dann gerade nicht weiter. Der
> feststehende Ausdruck stört mich etwas.
>
> c) Hier habe ich nicht mal eine Idee :(
>
Berechne den Winkel zwischen den beiden Normalvektoren.
> Habt ihr Vorschläge.
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower, was erhälst du denn für den Parameter t?
Die Hesse-Normalform von [mm] H_{1} [/mm] lautet ja:
[mm] 0x_{1}+\bruch{1}{\wurzel{2}}x_{2}+\bruch{1}{\wurzel{2}}x_{3}. [/mm]
Darin habe ich den Vektor [mm] \vektor{1\\2+\bruch{1}{\wurzel{2}}\\\bruch{1}{\wurzel{2}}}
[/mm]
eingesetzt und erhalte den geschriebenen Parameter.
Grüße
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Hallo Masseltof,
> Hallo Mathepower, was erhälst du denn für den Parameter
> t?
>
[mm]t=-\bruch{3}{\wurzel{2}}[/mm]
> Die Hesse-Normalform von [mm]H_{1}[/mm] lautet ja:
>
> [mm]0x_{1}+\bruch{1}{\wurzel{2}}x_{2}+\bruch{1}{\wurzel{2}}x_{3}.[/mm]
> Darin habe ich den Vektor
> [mm]\vektor{1\\2+\bruch{1}{\wurzel{2}}\\\bruch{1}{\wurzel{2}}}[/mm]
Es ist doch hier der Vektor
[mm]\vektor{1\\2+\bruch{\blue{t}}{\wurzel{2}}\\\bruch{\blue{t}}{\wurzel{2}}}[/mm]
gemeint.
> eingesetzt und erhalte den geschriebenen Parameter.
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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Hallo , ja die t habe ich vergessen in die Matrix einzutragen.
In meiner Rechnung habe ich sie jedoch berücksichtigt und komme somit auf
[mm] 2*\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{2}^2}t+\bruch{1}{\wurzel{2}^2}t
[/mm]
[mm] \bruch{2}{\wurzel2}+t=-\bruch{1}{\wurzel2}
[/mm]
Grüße
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Hallo Masseltof,
> Hallo , ja die t habe ich vergessen in die Matrix
> einzutragen.
> In meiner Rechnung habe ich sie jedoch berücksichtigt und
> komme somit auf
> [mm]2*\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{2}^2}t+\bruch{1}{\wurzel{2}^2}t[/mm]
> [mm]\bruch{2}{\wurzel2}+t=-\bruch{1}{\wurzel2}[/mm]
>
Bei den t's muss doch nur [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] stehen.
> Grüße
Gruss
MathePower
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