Spiegelung von Punkten im Raum < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 Mo 22.08.2005 | | Autor: | Hausboot |
Hallo,
ich habe folgende Frage und wäre total dankbar wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Gegeben sei ein Punkt P im Raum. Dieser Punkt wird zunächst an der 1., dann an der 2. und schließlich an der 3. Achse gespiegelt.
Frage: Spielt die Reihenfolge, an welcher Achse zuerst gespiegelt wird eine Reihenfolge?
Ich habe bereits durch Ausprobieren herausgefunden, dass die Reihenfolge hierbei keine Rolle spielt, so dass man stets an der selben Stelle, nämlcih am Startpunkt, angelangt.
Nun ist aber nach einer Begründung des ganzen gefragt, welche ich nicht geben kann.
Vielen Dank im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Mo 22.08.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
Überleg es dir doch mal so:
angenommen du hast einen Vektor $ [mm] \vec{v}=\vektor{x\\y\\z}$
[/mm]
Was passiert, wenn du diesen nur an der 1. Achse spiegelst?
Was wenn nur an der 2. bzw 3.?
Erkennst du nun, warum die Reihenfolge unwichtig ist?
Was passiert mit jeder Komponente, wenn man alle drei Spiegelungen durchführt?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Mo 22.08.2005 | | Autor: | Hausboot |
Hallo,
ich habe folgende Frage und wäre total dankbar wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Gegeben sei ein Punkt P im Raum. Dieser Punkt wird zunächst an der 1., dann an der 2. und schließlich an der 3. Achse gespiegelt.
Frage: Spielt die Reihenfolge, an welcher Achse zuerst gespiegelt wird eine Reihenfolge?
Ich habe bereits durch Ausprobieren herausgefunden, dass die Reihenfolge hierbei keine Rolle spielt, so dass man stets an der selben Stelle, nämlcih am Startpunkt, angelangt.
Nun ist aber nach einer Begründung des ganzen gefragt, welche ich nicht geben kann.
Vielen Dank im Voraus.
Vielen Dank erstmal für die Anregung, aber mir ist da noch nicht alles so klar. Vielleicht mal mit einem konkrten Bsp.:
P(1/2/3) wird lediglich an der 1. Achse gespiegelt.
--> P(1/-2/-3)
P wird nur an der 2. Achse gespiegelt.
--> P(-1/2/-3) usw. nicht wahr?
So und wenn ich P erst an der1.,dann an der 2. und dann an der 3. spiegele habe ich folgendes raus:
P(1/-2/-3) --> P(-1/-2/3) --> P(1/2/3) und damit wären wir wieder am Ausgangspunkt.
Wenn ich nur an einer Achse spiegele, dann erhalte ich unterschiedliche Punkte, aber wenn ich an allen 3 spiegele dann nicht oder? Wie meinst du das mit dem Ursprung?
Wenn ich zum Ursprung spiegle, dann bekommen doch einfach alle Koordinaten das entgegengesetzte Vorzeichen oder nicht?
*verwirrtsei* (:
Kann ich mir das Kosy nicht wie einen großen Würfel vorstellen und das gleiche Ergebnis bei beliebiger Reihenfolge der Achsen nicht so erklären, dass es ja egal ist in welche Richtung ich den Würfel zuerst drehe, solange ich alle (Um)Drehungen durchführe? Verstehst du mich überhaupt? Ich versteh mich gerade selbst kaum.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo!
> Gegeben sei ein Punkt P im Raum. Dieser Punkt wird zunächst
> an der 1., dann an der 2. und schließlich an der 3. Achse
> gespiegelt.
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> Frage: Spielt die Reihenfolge, an welcher Achse zuerst
> gespiegelt wird eine Reihenfolge?
>
> Ich habe bereits durch Ausprobieren herausgefunden, dass
> die Reihenfolge hierbei keine Rolle spielt, so dass man
> stets an der selben Stelle, nämlcih am Startpunkt,
> angelangt.
>
> Nun ist aber nach einer Begründung des ganzen gefragt,
> welche ich nicht geben kann.
>
> Vielen Dank im Voraus.
>
>
>
> Vielen Dank erstmal für die Anregung, aber mir ist da noch
> nicht alles so klar. Vielleicht mal mit einem konkrten
> Bsp.:
>
> P(1/2/3) wird lediglich an der 1. Achse gespiegelt.
>
> --> P(1/-2/-3)
>
> P wird nur an der 2. Achse gespiegelt.
>
> --> P(-1/2/-3) usw. nicht wahr?
>
> So und wenn ich P erst an der1.,dann an der 2. und dann an
> der 3. spiegele habe ich folgendes raus:
>
> P(1/-2/-3) --> P(-1/-2/3) --> P(1/2/3) und damit wären wir
> wieder am Ausgangspunkt.
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> Wenn ich nur an einer Achse spiegele, dann erhalte ich
> unterschiedliche Punkte, aber wenn ich an allen 3 spiegele
> dann nicht oder? Wie meinst du das mit dem Ursprung?
>
> Wenn ich zum Ursprung spiegle, dann bekommen doch einfach
> alle Koordinaten das entgegengesetzte Vorzeichen oder
> nicht?
>
> *verwirrtsei* (:
>
> Kann ich mir das Kosy nicht wie einen großen Würfel
> vorstellen und das gleiche Ergebnis bei beliebiger
> Reihenfolge der Achsen nicht so erklären, dass es ja egal
> ist in welche Richtung ich den Würfel zuerst drehe, solange
> ich alle (Um)Drehungen durchführe? Verstehst du mich
> überhaupt? Ich versteh mich gerade selbst kaum.
Also, diese Erklärung ist wohl nicht mathematisch genug. 
Aber ich finde, du hast es eigentlich schon richtig gemacht mit deinem Beispiel. Setze doch jetzt einfach mal statt konkreten Zahlenwerten allgemein [mm] p_1, p_2 [/mm] und [mm] p_3 [/mm] ein. Wenn du dann alle möglichen Reihenfolgen durchprobierst, bekommst du auch immer dasselbe Ergebnis raus, und das müsste als Beweis eigentlich schon reichen. Oder nicht?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mo 22.08.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
vergiss den Unsinn mit dem Koordinatenursprung - ich hatte einen stressigen Prüfungstag hinter mir - ist oben auch geändert worden !
Aber du hast recht :
Wenn du an einer Achse spiegelst, ändert sich das Vorzeichen der beiden anderen Komponenten !
Also: Egal in welcher Reihenfolge du die Spiegelungen ausführst : wie oft änderst du dabei das Vorzeichen jeder einzelner Komponente ?
Letzten Endes läuft es tatsächlich drauf hinaus, dass du alle 6 Möglichkeiten schnell mal aufzeigst um wirklich hundert prozentig sicher zu sein.
viele Grüße
DaMenge
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