Spielsysteme-Stoppzeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Sa 30.03.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Def.: Ein Ereignise A [mm] \subset\Omega [/mm] heißt beobachtbar bis zum Zeitpunkt n wenn es sich als Vereinigung von Mengen der Form [mm] \{ X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n \} [/mm] darstellen lässt.Die Menge aller bis zu n beobachtbaren Ereigenisse bezeichnen wir mit [mm] A_n.
[/mm]
Definition: Eine Abbildung T : [mm] \Omega [/mm] -> [mm] \{0,..,N \} [/mm] heißt Stoppzeit falls [mm] \{ T=n \} \in A_n \forall [/mm] n=0,..,N
Bemerkung:
Die Definition ist äquivalent zu [mm] \{ T \le n \} \in A_n [/mm] , n=0,..,N |
Hallo
Frage: [mm] \{ T=n \} \in A_n \forall [/mm] n=0,..,N
heißt doch dass die Stoppzeit von 0 bis zum Zeitpunkt N stattfinden kann. Und dass die Entscheidung nur aufgrund der vorher beobachtet Ereignissen getroffen werden kann.(ABer eben keine Informationen über die Zukunft) Korrekt?
Ich möchte die Bemerkung beweisen.
=>
Sei T eine Stoppzeit.
d.h. [mm] \{ T=n \} \in A_n \forall [/mm] n=0,..,N
Es gilt: [mm] A_0 \subset A_1 \subset [/mm] .. [mm] \subset A_n [/mm]
(Da etwas was in einen Schritt beobachtbar ist auch in zwei Schritten beobachtbar.)
=>Wegen dem System [mm] (A)_{i\ge 0} [/mm] gilt [mm] \{ T \le n \} \in A_n [/mm]
<=
Es gilt [mm] \{ T \le n \} \in A_n [/mm]
Brauche ich dafür wieder die Kette wie oben?
Oder bringe ich da was durcheinander?
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Hiho,
> Frage: [mm]\{ T=n \} \in A_n \forall[/mm] n=0,..,N heißt doch dass die Stoppzeit von 0 bis zum Zeitpunkt N stattfinden kann.
Was verstehst du unter "stattfinden"?
> Und dass die Entscheidung nur aufgrund der vorher beobachtet Ereignissen getroffen werden kann.(ABer eben keine Informationen über die Zukunft)
Welche Entscheidung? Ob gestoppt wurde?
Die Aussage besagt: Die Entscheidung, ob meine Stoppzeit zum Zeitpunkt n erreicht ist, kann zum Zeitpunkt n entschieden werden. Nicht mehr, und nicht weniger.
> Ich möchte die Bemerkung beweisen.
>
> =>
> Sei T eine Stoppzeit.
> d.h. [mm]\{ T=n \} \in A_n \forall[/mm] n=0,..,N
> Es gilt: [mm]A_0 \subset A_1 \subset[/mm] .. [mm]\subset A_n[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (Da etwas was in einen Schritt beobachtbar ist auch in zwei Schritten beobachtbar.)
Nein! Was zu einem früheren Zeitpunkt beobachtbar war, ist später auch noch bekannt!
> =>Wegen dem System [mm](A)_{i\ge 0}[/mm] gilt [mm]\{ T \le n \} \in A_n[/mm]
Das ist keine Begründung. Es ist absolut nicht klar, was du damit meinst.
Da steht nirgends, warum [mm]\{ T \le n \} \in A_n[/mm]
Ich will eine Umformung sehen, aus der ich ablesen kann, dass das gilt.
Fange also an:
[mm]\{ T \le n \} = \ldots \in A_n[/mm] mit anständiger Begründung!
>
> <=
> Es gilt [mm]\{ T \le n \} \in A_n[/mm]
> Brauche ich dafür wieder die Kette wie oben?
> Oder bringe ich da was durcheinander?
Welche Kette?
Du willst ja zeigen: [mm]\{ T = n \} \in A_n[/mm]
Fang also wieder an:
[mm]\{ T = n \} = \ldots \in A_n[/mm]
Tip hier: Induktion und Mengendifferenz.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 So 31.03.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo
=>
> $ [mm] \{ T \le n \} [/mm] = [mm] \ldots \in A_n [/mm] $ mit anständiger Begründung!
[mm] \{ T \le n \} [/mm] = [mm] \{ T < n \} \cup \overbrace{\{ T = n \}}^{\in A_n} [/mm]
disjunkte Vereinigung.
[mm] \{ T < n \} [/mm] = [mm] \bigcup_{i=0}^{n-1}\overbrace{\{ T = i \}}^{\in A_i} \in [A_0 \cup A_1 \cup [/mm] ... [mm] \cup A_{n-1}]\subset A_{n-1} \subset A_n [/mm]
die letzten beiden Relationen wegen : $ [mm] A_0 \subset A_1 \subset [/mm] $ .. $ [mm] \subset A_n [/mm] $
<=
Es gilt $ [mm] \{ T \le n \} \in A_n [/mm] $
Das verstehe ich hier nicht:
[mm] \{ T \le n \} [/mm] besteht ja auch aus dem Ereignis [mm] \{ T = n \} [/mm] , wieso ist dass dann nicht automatisch in [mm] A_n [/mm] ?
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Hiho,
> [mm]\{ T \le n \}[/mm] = [mm]\{ T < n \} \cup \overbrace{\{ T = n \}}^{\in A_n}[/mm]
> disjunkte Vereinigung.
> [mm]\{ T < n \}[/mm] = [mm]\bigcup_{i=0}^{n-1}\overbrace{\{ T = i \}}^{\in A_i} \in [A_0 \cup A_1 \cup[/mm]
> ... [mm]\cup A_{n-1}]\subset A_{n-1} \subset A_n[/mm]
> die letzten beiden Relationen wegen : [mm]A_0 \subset A_1 \subset[/mm]
> .. [mm]\subset A_n[/mm]
Oder kürzer: [mm] $\{T\le n\} [/mm] = [mm] \bigcup_{k=1}^n \underbrace{\{T = k\}}_{\in\mathcal{A}_n}$
[/mm]
> <=
> Es gilt [mm]\{ T \le n \} \in A_n[/mm]
> Das verstehe ich hier nicht:
> [mm]\{ T \le n \}[/mm] besteht ja auch aus dem Ereignis [mm]\{ T = n \}[/mm], wieso ist dass dann nicht automatisch in [mm]A_n[/mm] ?
Weil eine Teilmenge einer meßbaren Menge nicht wieder meßbar sein muss!
Hier musst du anders rangehen. Noch ein Tipp für den Beweis: Da du ja im diskreten bist, gilt: [mm] $\{T < n\} =\{T \le n-1\}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:17 Do 18.04.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo, ich weiß 2 Wochen ist die Frage her. Hatte aber durch Studienbeginn keine Zeit mich mit diesem Bsp zu beschäftigen.
Wir wollen ja aus [mm] \{ T \le n\} \in A_n [/mm] folgern [mm] \{ T= n \} \in A_n
[/mm]
[mm] \{ T \le n\} [/mm] = 1- [mm] \{ T > n\} [/mm] = 1- [mm] \{ T > n\} [/mm] = 1- [mm] \{ T \ge n-1\}
[/mm]
Am liebesten würde ich nun ein iduktionsargument anwenden. aber hier steht ja [mm] \ge..[/mm]
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Hiho,
> [mm]\{ T \le n\}[/mm] = 1- [mm]\{ T > n\}[/mm] = 1- [mm]\{ T > n\}[/mm] = 1- [mm]\{ T \ge n-1\}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es gilt: [mm] $\{ T > n\} [/mm] = [mm] \{ T \ge n+1\}$, [/mm] daher funktioniert dein Versuch nicht.
Du gehst da viel zu kompliziert ran: Zerlege doch mal [mm] $\{T\le n\}$ [/mm] in das was du haben willst und den "Rest" und dann überlege, wie du das was du haben willst, darstellen kannst mit dem was du hast und dem "Rest".
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Do 18.04.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo, hab noch einen versuch gewagt mit Induktion.
I.Vor
Es gilt [mm] \{ T \le n-1 \} \in A_{n-1} [/mm] => [mm] \{ T = n-1 \} \in A_{n-1}
[/mm]
I:Schritt
Es gilt [mm] \{ T \le n \} \in A_{n} [/mm] ZZ.: => [mm] \{ T = n \} \in A_{n}
[/mm]
Voraussetzung: [mm] \{T \le n\} \in A_n
[/mm]
Zerlegung:
[mm] \{T \le n\} [/mm] = [mm] \{T=n\} \cup \{ T < n \} [/mm] = [mm] \{T=n\} \cup \{ T \le n-1 \} [/mm] = [mm] \{T=n\} \cup \{ T = n-1 \} \cup \{ T < n-1 \} [/mm] = [mm] \{ T = n \} \cup \underbrace{ \{ T = n-1 \}...\cup \{ T = 0 \}}_{\in A_{n-1} \subset A_n} [/mm]
Letzte schritt induktionsvorausetzung und die Teilmengenbeziehung
Nun frag ich ob ich das wieder dann falsch mache, wenn ich aus: [mm] \{T \le n\} \in A_n [/mm] das zuzeigende folgere..
Ich glaub nun denke ich ZUU einfach odre genau richtig;)
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Hiho,
bis dahin ist alles ok.
Dir fehlt nur der letzte entscheidende Schritt, nämlich [mm] $\{T = n\}$ [/mm] jetzt mit dem darzustellen, was du hast.
Ich schubs dich mal drauf: [mm] $\{T=n\} [/mm] = [mm] \{T\le n\} \setminus \{T \le n-1\}$ [/mm] 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:58 Fr 19.04.2013 | | Autor: | sissile |
Danke , aber müsste man dann nicht noch zeigen dass die bis zum Zeitpunkt n beobachtbaren ereignisse [mm] A_n [/mm] abgeschlossen unter der Mengen differenz sind. Also wenn beide faktoren [mm] \in A_n [/mm] sind auch die Mengendifferenz [mm] \in A_n [/mm] ist?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:42 Fr 19.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> Danke , aber müsste man dann nicht noch zeigen dass die
> bis zum Zeitpunkt n beobachtbaren ereignisse [mm]A_n[/mm]
> abgeschlossen unter der Mengen differenz sind. Also wenn
> beide faktoren [mm]\in A_n[/mm] sind auch die Mengendifferenz [mm]\in A_n[/mm]
> ist?
Ja, wenn noch nicht bekannt ist, dass [mm] $\mathcal{A}_n$ [/mm] abgeschlossen unter Mengendifferenz ist, muss das noch gezeigt werden.
Es gilt
[mm] $\mathcal{A}_n=\{\underbrace{\bigcup_{(x_1,\ldots,x_n)\in I}\{X_1=x_1,\ldots,X_n=x_n\}}_{=\{(X_1,\ldots,X_n)\in I\}}\;|\;I\subseteq\{-1,1\}^n\}$.
[/mm]
Seien nun [mm] $A,B\in\mathcal{A}_n$. [/mm] Wir wollen zeigen, dass dann auch [mm] $A\setminus B\in\mathcal{A}_n$ [/mm] gilt.
Da [mm] $A,B\in\mathcal{A}$ [/mm] existieren [mm] $I,J\subseteq\{-1,1\}^n$ [/mm] mit ...
Gesucht ist ein [mm] $K\subseteq\{-1,1\}^n$ [/mm] mit [mm] $A\setminus B=\ldots$
[/mm]
Konstruiere $K$ aus $I$ und $J$! Naheliegender Ansatz: Mengendifferenz bilden.
Viele Grüße
Tobias
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