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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Sa 02.09.2006 | | Autor: | Phecda |
hi
wenn ich ein gleichseitiges dreieck hab und an jeder ecke sitzt bsp ein käfer und jeder käfer bewegt sich im gleichen zeitschritt zu seinem nachbar, dann entsteht doch eine spirale. wie kann ich eine solche kurve mathematisch beschreiben?
danke für jede anregung
mfg phecda
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Sa 02.09.2006 | | Autor: | Phecda |
hi
leider verstehe ich nicht, warum da ausgerechnet eine logarithmische Spirale entsteht. und wie man auf die polarkoordinatenform r=ce^phi kommt?
kann jmd. helfen? danke
mfg phecda
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Hallo!
Eine Lösung für ein ganz ähnliches Problem (Käfer auf einem Quadrat) findest Du ![[]](/images/popup.gif) hier.
Du kannst Dir das ja erstmal durchlesen und dann nachfragen, falls Du etwas nicht verstanden hast.
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Sa 02.09.2006 | | Autor: | Phecda |
was in dem link erklärt wurde verstehe ich.
es heißt jedoch dass wenn P die koordinaten x/y hat, hat q die koordinaten y/-x. Wie ist jedoch der Zusammenhang bei einem Dreieck? zwischen zwei punkten zweier käfer?
mfg phecda
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Hallo,
beim Dreieck ist etwas komplizierter, weil man noch den Winkel mit einberechnen muss.
Für den Fall, dass die Geschwindigkeit der Käfer proportional zu ihrem Abstand ist, sieht das Problem so aus:
Der Ansatz ist ein Differentialgleichungssystem, das zwischen den Geschwindigkeiten der Käfer und ihren Positionen vermittelt.
Seien $p,q,r$ die Ortsvektoren der Käfer, dann sind [mm] $\dot{p}, \dot{q}, \dot{r}$ [/mm] ihre Geschwindigkeiten und $k$ der Koeffizient, der Entfernung und Geschwindigkeit verknüpft, dann gilt wegen der gegenseitigen Verfolgung:
[mm] $\dot{p} [/mm] = [mm] k*\left(q-p\right)$
[/mm]
[mm] $\dot{q} [/mm] = [mm] k*\left(r-q\right)$
[/mm]
[mm] $\dot{r} [/mm] = [mm] k*\left(p-r\right)$
[/mm]
In Matrizenschreibform erhält man:
[mm] $\begin{pmatrix}\dot{p}_x\\\dot{p}_y\\\dot{q}_x\\\dot{q}_y\\\dot{r}_x\\\dot{r}_y\\ \end{pmatrix} [/mm] = [mm] k*\begin{pmatrix}-1&0&1&0&0&0\\0&-1&0&1&0&0\\0&0&-1&0&1&0\\0&0&0&-1&0&1\\1&0&0&0&-1&0\\0&1&0&0&0&-1 \end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix}p_x\\p_y\\q_x\\q_y\\r_x\\r_y\end{pmatrix}$
[/mm]
Wenn man diesen Differentialgleichungssystem gelöst bekommt, dann erhält man eben diese exponentiellen Verläufe, die diese Spiralen charakterisieren.
Im Dreieck sehen die Pfade dann etwa so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die komplette Lösung kann ich ja mal posten, aber nur, wenn Interesse besteht.
Gruß
Martin
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 So 03.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Phecda
Wenn du mit komplexen Zahlen gut umgehen kannst, gibts ne etwas einfachere Lösung.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 So 03.09.2006 | | Autor: | Phecda |
hi wie lautet denn die lösung mit komplexen zahlen *gg*
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 So 03.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Phecda
Du legst den Schwerpunkt des Dreiecks in den 0 Punkt, dann liegen die Eckpunkt bei den 3 dritten Wurzeln . die Eckpunkte sind dann z0,z1,z2
die Gleichungen für die Bewegung der Eckpunkte: [mm] Pi(t)=zi(0)*r(t)*e^{i\phi*t}
[/mm]
P0läuft auf P1 zu heisst: I) [mm] P0'(t)=\gamma(t) [/mm] (P1(t)-P0(t))
ausserdem II) [mm] P0'(t)=z0*(r'(t)/r(t)+i*\phi))*r(t)e^{i\phi*t} [/mm]
[mm] P1(t)-P0(t)=(z1-z0)*r(t)*e^{i\phi*t}
[/mm]
[mm] (\gamma(t) [/mm] = 1, da es dir auf die Geschwindigkeit nicht ankommt, weil die Kurve davon unabhängig ist.)
Wenn du jetzt Realteil und Imaginärteil einzeln betrachtest hast du :
r'(t)/r(t)=Re(z1-z0) und [mm] \phi=Im(z1-z0)
[/mm]
Ich denk das ist relativ einfach.
Gruss leduart
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