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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Fr 08.06.2007 | | Autor: | PaulP |
| Aufgabe | E/K sei Körpererweiterung mit Char. p>0.
zu zeigen: [mm] \forall \alpha \in [/mm] E gilt [mm] Sp_{E/K}(\alpha^p) [/mm] = [mm] (Sp_{E/K}(\alpha))^p [/mm] |
Hallo!
Wie mache ich das? Induktion? Ich habe irgendwie Probleme, das vernünftig aufzuschreiben, bin halt kein Mathematiker...
Gruß,
Paul
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Sa 09.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Paul!
> E/K sei Körpererweiterung mit Char. p>0.
Die Erweiterung $E/K$ soll endlich sein, oder? Ansonsten macht es keinen Sinn, die Spur zu betrachten...
> zu zeigen: [mm]\forall \alpha \in[/mm] E gilt [mm]Sp_{E/K}(\alpha^p)[/mm] =
> [mm](Sp_{E/K}(\alpha))^p[/mm]
>
> Hallo!
> Wie mache ich das? Induktion? Ich habe irgendwie Probleme,
> das vernünftig aufzuschreiben, bin halt kein
> Mathematiker...
Mit Induktion kannst du hier nichts machen.
Du weisst, dass in Koerpern der Charakteristik $p$ gilt $(a + [mm] b)^p [/mm] = [mm] a^p [/mm] + [mm] b^p$? [/mm] Das brauchst du hier naemlich.
Die Spur von [mm] $\alpha$ [/mm] bzgl. $E/K$ ist ja so definiert: man betrachtet die $K$-lineare Abbildung [mm] $\varphi [/mm] : E [mm] \to [/mm] E$, $x [mm] \mapsto \alpha [/mm] x$. Und die Spur [mm] $Sp_{E/K}(\alpha)$ [/mm] ist jetzt gerade die Spur von dieser Abbildung.
Die Spur einer linearen Abbildung ist ja gerade die Summe der Eigenwerte (mit Vielfachheiten gezaehlt) (wobei die Eigenwerte aus einem fest gewaehlten Zerfaellungskoerper des charakteristischen Polynoms sind; solche technischen Feinheiten lass ich jetzt einfach mal weg).
Jetzt musst du dir ueberlegen, wie die Eigenwerte der $K$-linearen Abbildung [mm] $\psi [/mm] : E [mm] \to [/mm] E$, $x [mm] \mapsto \alpha^p [/mm] x$ aussehen. (Hinweis: [mm] $\psi [/mm] = [mm] \varphi^p$, [/mm] also die $p$-fache Hintereinanderausfuehrung von [mm] $\varphi$.)
[/mm]
Damit und mit der Linearitaet von $x [mm] \mapsto x^p$ [/mm] bekommst du dann die Aussage.
LG Felix
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 16:54 So 10.06.2007 | | Autor: | PaulP |
Danke, da wär ich nie drauf gekommen!
Gruß,
Paul
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