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| Aufgabe | Zeige, dass tr(AB)=tr(BA), [mm] tr(A^l)=tr(A) [/mm] und [mm] tr(I_n)=n [/mm] für je zwei Matrizen A,B [mm] \in M_{n \times n} (\IK)
[/mm]
tr=SPUR einer Matrix |
Hallo
1)
tr(AB) = [mm] \sum_{i=1}^{n} (AB)_{ij}= \sum_{i=1}^{n} (\sum_{k=1}^{n}a_{ik} *b_{kj}) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n}(\sum_{i=1}^{n} b_{kj} a_{ik} [/mm] )
Das ist irgendwie mit die Indizes falsch! Muss ganz am anfang
[mm] \sum_{i=1}^{n} (AB)_{ii} [/mm] hin?
Was soll [mm] A^l [/mm] bedeuten? Jedes Element der Matrix hoch l ?
[mm] tr(I_n)= \sum_{i=1}^{n} (\delta)_{ii}
[/mm]
Ich weiß nicht, was ich da weiter anschreiben sollte?
Ich möchte ja nicht in Pünktchenschreibweise, switchen, weil das dre Prof nicht gerne sieht. [mm] \delta_{11}+....+\delta_{nn}=n*1=n
[/mm]
Aber wie mache ich das in SUmmenschreibweise?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 So 15.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Zeige, dass tr(AB)=tr(BA), [mm]tr(A^l)=tr(A)[/mm] und [mm]tr(I_n)=n[/mm] für
> je zwei Matrizen A,B [mm]\in M_{n \times n} (\IK)[/mm]
>
> tr=SPUR einer Matrix
> Hallo
> 1)
> tr(AB) = [mm]\sum_{i=1}^{n} (AB)_{ij}= \sum_{i=1}^{n} (\sum_{k=1}^{n}a_{ik} *b_{kj})[/mm]
> = [mm]\sum_{k=1}^{n}(\sum_{i=1}^{n} b_{kj} a_{ik}[/mm] )
> Das ist irgendwie mit die Indizes falsch! Muss ganz am
> anfang
> [mm]\sum_{i=1}^{n} (AB)_{ii}[/mm] hin?
Ja, du hast ja die summe der diagonalelemente =spur.
[mm] A^l [/mm] bedeutet A*A*..*A l Stück sollte es nicht vielleicht [mm] A^t= [/mm] transponierte A sein ? mit [mm] A^l [/mm] oder [mm] A^k [/mm] ist die beh. falsch.
> Was soll [mm]A^l[/mm] bedeuten? Jedes Element der Matrix hoch l ?
Nein
>
> [mm]tr(I_n)= \sum_{i=1}^{n} (\delta)_{ii}[/mm]
> Ich weiß nicht, was
> ich da weiter anschreiben sollte?
wegen [mm] \delta)_{ii}=1 [/mm] einfach [mm] \sum_{i=1}^{n} [/mm] 1
> Ich möchte ja nicht in Pünktchenschreibweise, switchen,
> weil das dre Prof nicht gerne sieht.
> [mm]\delta_{11}+....+\delta_{nn}=n*1=n[/mm]
> Aber wie mache ich das in SUmmenschreibweise?
Gruss leduart
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tr(AB) = $ [mm] \sum_{i=1}^{n} (AB)_{ii}= \sum_{i=1}^{n} (\sum_{k=1}^{n}a_{ik} \cdot{}b_{ki}) [/mm] $= $ [mm] \sum_{k=1}^{n}(\sum_{i=1}^{n} b_{ki} a_{ik} [/mm] $ ) = $ [mm] \sum_{k=1}^{n} (BA)_{kk}= [/mm] tr(BA)
Ich lese zwar ein l aber wahrscheinlich heißt es t für transponierte Matrix
[mm] tr(A^t) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{n} ((A)_{ii})^{t} =\sum_{i=1}^{n} (A)_{ii}= [/mm] tr(A)
Was kann ich da mehr zeigen [mm] {A_{ji}}^{t}=A_{ij}, [/mm] hier sind indizes aber gleich.
$ [mm] tr(I_n)= \sum_{i=1}^{n} (\delta)_{ii} [/mm] $
> wegen $ [mm] \delta)_{ii}=1 [/mm] $ einfach $ [mm] \sum_{i=1}^{n} [/mm] $ 1
aber hier hab ich keinen Laufindex i mehr? Wie ergibt, dass dann in summe n?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:06 So 15.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
alles richtig, man brauch in der summe keinen Laufindex,
$ [mm] \sum_{i=1}^{n}1=1+1+1+..1 [/mm] =n$
ebenso $ [mm] \sum_{i=1}^{n} [/mm] $ [mm] 3^2=n*3^2 [/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 So 15.01.2012 | | Autor: | theresetom |
Achso vielen lieben DANK ;)
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