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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Spur und Diagonalmatrix
Spur und Diagonalmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Spur und Diagonalmatrix: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:56 Fr 24.04.2009
Autor: T_sleeper

Aufgabe
A und P sind quadratische Matrizen mit Elementen in K und P ist invertierbar. Man soll zeigen
(i) [mm] spur(P^{-1}AP)=spur(A). [/mm]
(ii) Ist [mm] P^{-1}AP [/mm] Diagonalmatrix mit Diagonal-Koeffizienten [mm] d_1,...,d_n, [/mm] so ist [mm] spur(A^t)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}d_{i}^{t}[/mm] für alle [mm] t\in \mathbb{N} [/mm].    

Hallo,

also (i) zu zeigen ist kein Problem.

Zu (ii). Kann ich da einfach schreiben, da [mm] spur(P^{-1}AP)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}d_{i} [/mm] und mit (i) folgt:
[mm] spur(A^t)=spur((P^{-1}AP)^t)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}d_{i}^t [/mm] ? Oder ist das falsch? Wenns falsch ist, wie sollte ich das dann machen? Mit Induktion?

Schonmal Danke im Voraus.

        
Bezug
Spur und Diagonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:27 Sa 25.04.2009
Autor: angela.h.b.


> A und P sind quadratische Matrizen mit Elementen in K und P
> ist invertierbar. Man soll zeigen
> (i) [mm]spur(P^{-1}AP)=spur(A).[/mm]
>  (ii) Ist [mm]P^{-1}AP[/mm] Diagonalmatrix mit
> Diagonal-Koeffizienten [mm]d_1,...,d_n,[/mm] so ist
> [mm]spur(A^t)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}d_{i}^{t}[/mm] für
> alle [mm]t\in \mathbb{N} [/mm].  
> Hallo,
>  
> also (i) zu zeigen ist kein Problem.

Hallo,

was soll denn [mm] d_i^t [/mm] sein?

Sollst Du vielleicht eher zeigen, daß [mm] spur(A^t)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}d_{i} [/mm]  gilt?

>  
> Zu (ii). Kann ich da einfach schreiben, da
> [mm]spur(P^{-1}AP)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}d_{i}[/mm] und
> mit (i) folgt:
>  
> [mm][mm] spur(A^t)=spur((P^{-1}AP)^t) [/mm]

Dies Gleichung scheint mir etwas fix aufgestellt. Wie begründest Du diese Gleichheit?Ist $ [mm] P^{-1}AP [/mm] $ Diagonalmatrix mit Diagonal-Koeffizienten $ [mm] d_1,...,d_n, [/mm] $


Ich würd's so machen: vorausgesetzt ist st $ [mm] P^{-1}AP [/mm] =diag( [mm] d_1,...,d_n). [/mm] $

Dann ist A= ...

Also [mm] A^T= [/mm] ...

Zeige nun, daß die Diagonalmatrix eingerahmt ist von zwei zueinander inversen Matrizen und verwende (i).

Gruß v. Angela








Bezug
                
Bezug
Spur und Diagonalmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:20 Sa 25.04.2009
Autor: T_sleeper


> Sollst Du vielleicht eher zeigen, daß
> [mm]spur(A^t)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}d_{i}[/mm]  gilt?

Nein. Ich habe bereits gezeigt, dass spur(P^-1AP)=spur(A). Ich soll tatsächlich das zeigen, was ich vorher in der Aufgabenstellung geschrieben habe.

> >  

> > Zu (ii). Kann ich da einfach schreiben, da
> > [mm]spur(P^{-1}AP)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}d_{i}[/mm] und
> > mit (i) folgt:
>  >  
> > [mm][mm]spur(A^t)=spur((P^{-1}AP)^t)[/mm]

Dies Gleichung scheint mir etwas fix aufgestellt. Wie begründest Du diese Gleichheit?Ist [mm]P^{-1}AP[/mm] Diagonalmatrix mit Diagonal-Koeffizienten [mm]d_1,...,d_n,[/mm]


>>Ich würd's so machen: vorausgesetzt ist st [mm]P^{-1}AP =diag( >>d_1,...,d_n).[/mm]

>>Dann ist A= ...

>>Also [mm]A^T=[/mm] ...

Achtung: mit [mm] A^t [/mm]  ist hier nicht die Transponierte von A gemeint. t ist einfach eine natürliche Zahl und ein Exponent. Dann erfüllt die Aufgabenstellung nun auch einen Sinn. Wenn ich nämlich A t-mal mit sich selbst multipliziere, dann muss sie Spur von [mm] A^t [/mm] gleich der Summe der Diagonalmatrixeinträge hoch t sein.
Ist mein Ansatz dann vllt richtig bzw. wie soll ichs sonst machen?










Bezug
                        
Bezug
Spur und Diagonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:23 Sa 25.04.2009
Autor: angela.h.b.


> > > [mm]spur(A^t)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}d_{i}^t[/mm]  

> Achtung: mit [mm]A^t[/mm]  ist hier nicht die Transponierte von A gemeint.

Oh. Entschuldigung. Ich hab' nicht weit genug geguckt...


Dann geht das so:

Du weißt, daß    es eine Matrix P gibt mit [mm] P^{-1}AP=diag(d_1, [/mm] ..., [mm] d_n) [/mm]   <==> [mm] A=Pdiag(d_1,..., d_n)P^{-1}. [/mm]


Was hast Du denn, wenn Du [mm] A^t [/mm] rechnest? Dies [mm] \underbrace{()Pdiag(d_1,..., d_n)P^{-1})(Pdiag(d_1,..., d_n)P^{-1})...(Pdiag(d_1,..., d_n)P^{-1}}_{t-mal} [/mm] = ???

Wenn Du danach (i) verwendest, und noch vorrechnest,  was [mm] (diag(d_1,...,d_n))^t [/mm] ist, z.B. per Induktion, bist Du fertig

Gruß v. Angela






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