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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 Di 10.11.2015 | | Autor: | arraneo |
Hallo zusammen!
würde mich sehr freuen, wenn jemanden mir bei dieser Aufgabe helfen könnte.. die lautet:
Sei X ein Hausdorffraum und [mm] X_{0} [/mm] eine abgeschlossene Teilmenge von X. Ist [mm] M\subset [/mm] X eine kompakte Teilmenge von X, so ist [mm] M\cap X_0 \subseteq X_0 [/mm] (dämlicher Latex will das nicht zeigen!) Ich schreibe das mal in Wörter.
Also es sollte der Schnitt von M und [mm] X_0, [/mm] was Teilmenge von [mm] X_0 [/mm] ist, auch kompakt und zwar bezüglich der Spurtopologie.
Lösung:
Es gilt erstmal, dass der Schnitt auch in M liegt, was ja eine kompakte Menge ist und M ist ja dadurch auch angeschlossen, sprich der Schnitt zwischen 2 abgeschlossenen Mengen ist wieder abgeschlossen.
Dann in einer früheren Aufgabe, habe ich bewiesen dass eine abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ist selbst wieder kompakt, d.h. unserer Schnitt von M und [mm] X_0 [/mm] ist dadurch auch kompakt.
Dann habe ich mir überlegen zu definieren:
[mm] U:={O_i | O_i\inX} [/mm]
ein System offener Überdeckungen von [mm] X_0, [/mm] wobei U ist dann eine Teilmenge von T (Topologie auf X).
Da der Schnitt kompakt war, gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung, deren Vereinigung dann auch den Schnitt selber enthält.
Weiterhin wäre diese Vereinigung ja Teilmenge von U, da der Schnitt Teilmenge von [mm] X_0 [/mm] ist.
Mein Problem ist ja eigentlich, dass erstmal gar nicht gesagt wurde, welche Spurtopologie von X, also ich bin davon ausgegangen dass es sich um die Spurtopologie von [mm] X_0 [/mm] handelt, dabei aber besteht sie ja nur aus offenen Mengen aus [mm] X_0, [/mm] womit ich ja weder [mm] X_0 [/mm] noch den Schnitt irgendwie überdecken kann..
Kann mir bitte jemanden sagen, was ich hier falsch gemacht habe, oder verstanden habe?
vielen vielen Dank !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 Mi 11.11.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo arraneo!
> Lösung:
>
> Es gilt erstmal, dass der Schnitt auch in M liegt, was ja
> eine kompakte Menge ist und M ist ja dadurch auch
> angeschlossen, sprich der Schnitt zwischen 2
> abgeschlossenen Mengen ist wieder abgeschlossen.
[mm] $X_0$ [/mm] ist nach Annahme abgeschlossen in $X$.
Da $X$ Hausdorffsch ist und $M$ kompakt ist, ist $M$ abgeschlossen in X.
Somit ist auch [mm] $M\cap X_0$ [/mm] abgeschlossen in $X$.
> Dann in einer früheren Aufgabe, habe ich bewiesen dass
> eine abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ist
> selbst wieder kompakt, d.h. unserer Schnitt von M und [mm]X_0[/mm]
> ist dadurch auch kompakt.
Ja.
(Die Details hängen von der genauen Formulierung der früheren Aufgabe ab.)
Damit ist die Behauptung bewiesen.
> Dann habe ich mir überlegen zu definieren:
>
> [mm]U:={O_i | O_i\in X}[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Du meinst offenbar etwas anderes als du schreibst.
Nähme ich deine Definition von U wörtlich, so wäre $U=X$.
> ein System offener Überdeckungen von [mm]X_0,[/mm] wobei U ist dann
> eine Teilmenge von T (Topologie auf X).
Vermutlich soll $U$ EINE offene Überdeckung einer bestimmten Menge (welcher?) in X sein?
> Da der Schnitt kompakt war, gibt es zu jeder offenen
> Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung, deren
> Vereinigung dann auch den Schnitt selber enthält.
Ja. Für jede offene Überdeckung [mm] $(O_i)_{i\in I}$ [/mm] von [mm] $M\cap X_0$ [/mm] (d.h. [mm] $O_i\subseteq [/mm] X$ offen für alle [mm] $i\in [/mm] I$ und [mm] $\bigcup_{i\in I}O_i\supseteq M\cap X_0$) [/mm] gibt es eine endliche Teilmenge [mm] $I_0\subseteq [/mm] I$ mit [mm] $\bigcup_{i\in I_0}O_i\supseteq M\cap X_0$.
[/mm]
> Weiterhin wäre diese Vereinigung ja Teilmenge von U, da
> der Schnitt Teilmenge von [mm]X_0[/mm] ist.
(Da ich nicht verstanden habe, was U bezeichnen soll, kann ich dazu nichts sagen.)
> Mein Problem ist ja eigentlich, dass erstmal gar nicht
> gesagt wurde, welche Spurtopologie von X,
Um welchen Zusammenhang mit einer Spurtopologie geht es hier?
> also ich bin
> davon ausgegangen dass es sich um die Spurtopologie von [mm]X_0[/mm]
> handelt, dabei aber besteht sie ja nur aus offenen Mengen
> aus [mm]X_0,[/mm]
Die Spurtopologie von $X$ auf [mm] $X_0$ [/mm] besteht nicht nur aus den bezüglich $X$ offenen Teilmengen von [mm] $X_0$, [/mm] sondern aus allen Mengen der Form [mm] $O\cap X_0$ [/mm] mit [mm] $O\subseteq [/mm] X$ offen.
> womit ich ja weder [mm]X_0[/mm] noch den Schnitt irgendwie
> überdecken kann..
Wie kommst du darauf?
Selbst wenn dies stimmen würde: Wo wäre das Problem?
Tatsächlich lässt sich jedoch jede Menge in jedem topologischen Raum X trivial durch eine offene Menge überdecken, nämlich durch die Menge ganz X.
> Kann mir bitte jemanden sagen, was ich hier falsch gemacht
> habe, oder verstanden habe?
Möglicherweise die Definition von Kompaktheit?
Sicher bin ich mir aber nicht.
Am besten fragst du nochmal nach.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:40 Do 12.11.2015 | | Autor: | fred97 |
Ich denke, man sollte zunächst klar sagen, was die Spurtopologie [mm] \tau_{X_0} [/mm] auf [mm] X_0 [/mm] ist (auch deswegen, weil mein Vorredner
sich in meinen Augen missverständlich ausgedrückt hat): ist [mm] \tau [/mm] das System der in X offenen Mengen, so ist
[mm] \tau_{X_0}=\{G \cap X_0: G \in \tau\}.
[/mm]
Zu zeigen ist: $M [mm] \cap X_0$ [/mm] kompakt in [mm] X_0.
[/mm]
Das bedeutet: ist [mm] (O_i)_{i \in I} [/mm] eine Familie aus [mm] \tau_{X_0} [/mm] mit $M [mm] \cap X_0 \subseteq \bigcup_{i \in I}^{} O_i$, [/mm] so gibt es eine endliche Teilmenge $J$ von $I$ mit
$M [mm] \cap X_0 \subseteq \bigcup_{i \in J}^{} O_i$.
[/mm]
__________________________
Sei also $ [mm] (O_i)_{i \in I} [/mm] $ eine Familie aus $ [mm] \tau_{X_0} [/mm] $ mit $ M [mm] \cap X_0 \subseteq \bigcup_{i \in I}^{} O_i [/mm] $.
Dann gibt es also eine Familie $ [mm] (G_i)_{i \in I} [/mm] $ aus $ [mm] \tau [/mm] $ mit
[mm] $O_i= G_i\cap [/mm] X$ für jedes $i [mm] \in [/mm] I$.
Damit haben wir
$ M [mm] \cap X_0 \subseteq (\bigcup_{i \in I}^{} G_i [/mm] ) [mm] \cap X_0$
[/mm]
Wie kommen wir nun zu der gesuchten endlichen Menge J ?
Da [mm] X_0 [/mm] abgeschlossen ist, ist $G:=X [mm] \setminus X_0$ [/mm] offen (in X).
Überzeuge Dich nun von
$ M [mm] \subseteq (\bigcup_{i \in I}^{} G_i [/mm] ) [mm] \cup [/mm] G$
Da M kompakt in X ist, gibt es ein endliches $J [mm] \subseteq [/mm] I$ mit
$ M [mm] \subseteq (\bigcup_{i \in J}^{} G_i [/mm] ) [mm] \cup [/mm] G$.
Zeige nun:
$ M [mm] \cap X_0 \subseteq \bigcup_{i \in J}^{} O_i [/mm] $.
Fertig.
Dass X ein Hausdorffraum ist wurde nicht benötigt !!
FRED
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