Stabilität von Ruhelagen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Stabilität der Ruhelage x=0 der DG [mm] x'=x^2 [/mm] |
Hallo also ich habe zu dem Thema bei paar Bsp eine Frage, wo ich die Lösung der DG bereits berechnet habe, aber ich die Stabilität der Ruhelage untersuchen muss und ich mir da etwas schwer tu. Ist es in Ordnung alle in diesen Thread reinzuschreiben? Oder muss ich für jede kurze Frage einen extra Thread eröffnen?
also zu dem oben genannten Bsp, die Lösung ist [mm] x(t,x_0)=\bruch{x_0}{1-x_0*t} [/mm] und wenn ich jetzt die Stabilität (Ljapunov) untersuchen will:
dass es stabil ist, muss gelten aus für jedes [mm] \varepsilon\ge0 [/mm] ein [mm] \delta \ge0 [/mm] existiert, so dass aus [mm] |x_0-a|\le \delta [/mm] folgt, x(t,a) existiert für t [mm] \ge t_0 [/mm] und [mm] |x(t,x_0)-x(t,a)| \le \varepsilon [/mm] für t [mm] \ge t_0
[/mm]
und bei dem Beispiel, x=0 der DG [mm] x'=x^2 [/mm] steht in unserem Skriptum, dass die Ruhelage x=0 instabil ist, da die Lösung [mm] x(t,x_0) [/mm] für bel. kleine Anfangswerte [mm] x_0 \ge [/mm] 0 jedes Intervall [mm] (-\varepsilon,\varepsilon) [/mm] verlässt
aber mir ist das nicht klar wieso? Könnte mir das wer erlären?
Dankeschön
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:24 Di 04.06.2013 | | Autor: | Helbig |
> Untersuchen Sie die Stabilität der Ruhelage x=0 der DG
> [mm]x'=x^2[/mm]
> Hallo also ich habe zu dem Thema bei paar Bsp eine Frage,
> wo ich die Lösung der DG bereits berechnet habe, aber ich
> die Stabilität der Ruhelage untersuchen muss und ich mir
> da etwas schwer tu. Ist es in Ordnung alle in diesen Thread
> reinzuschreiben? Oder muss ich für jede kurze Frage einen
> extra Thread eröffnen?
>
> also zu dem oben genannten Bsp, die Lösung ist
> [mm]x(t,x_0)=\bruch{x_0}{1-x_0*t}[/mm] und wenn ich jetzt die
> Stabilität (Ljapunov) untersuchen will:
>
> dass es stabil ist, muss gelten aus für jedes
> [mm]\varepsilon\ge0[/mm] ein [mm]\delta \ge0[/mm] existiert, so dass aus
> [mm]|x_0-a|\le \delta[/mm] folgt, x(t,a) existiert für t [mm]\ge t_0[/mm]
> und [mm]|x(t,x_0)-x(t,a)| \le \varepsilon[/mm] für t [mm]\ge t_0[/mm]
>
> und bei dem Beispiel, x=0 der DG [mm]x'=x^2[/mm] steht in unserem
> Skriptum, dass die Ruhelage x=0 instabil ist, da die
> Lösung [mm]x(t,x_0)[/mm] für bel. kleine Anfangswerte [mm]x_0 \ge[/mm] 0
> jedes Intervall [mm](-\varepsilon,\varepsilon)[/mm] verlässt
> aber mir ist das nicht klar wieso? Könnte mir das wer
> erlären?
Hallo,
der Fixpunkt 0 ist instabil, wenn es ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gibt, so daß zu jedem [mm] $\delta [/mm] > 0$ einen Anfangswert [mm] $x_0$ [/mm] im Intervall [mm] $(-\delta; \delta)$ [/mm] existiert und die Lösungskurve das Intervall [mm] $(-\epsilon, \epsilon)$ [/mm] verläßt.
Dies ist in unserem Beispiel für [mm] $\epsilon=1$ [/mm] erfüllt. Zu [mm] $\delta [/mm] > 0$ wähle [mm] $x_0= {\delta \over 2}$ [/mm] und beachte [mm] $\lim_{t\to 1/x_0} {x_0 \over 1 - t*x_0} [/mm] = [mm] \infty\,.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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| Aufgabe | [mm] x'=-x^2*sin(t) [/mm] x(0)=b,b [mm] \in [/mm] R
Ist die Lösung x(t)=0, [mm] t\ge [/mm] 0 stabil bzw. asymptotisch stabil? |
Vielen Dank für die Antwort, Helbig.
ich habe mich jetzt etwas mehr in dieses Thema eingelesen und bei autonomen Dgl ist mir das mit der Stabilität jetzt eigentlich klar.
Mir machen eher nicht autonome Dgs etwas Probleme, zum Beispiel
ich habe zur obigen Dg einmal die Lösung berechnet,
[mm] x(t)=\bruch{x_0}{x_0*(-cos(t)+1+c)+1}
[/mm]
Ich kann ja den Nenner abschätzen
[mm] \bruch{x_0}{x_0*(-cos(t)+1+c)+1} \le \bruch{x_0}{0+1} [/mm] = [mm] \bruch{x_0}{1} [/mm] (richtig??)
bringt mir diese Abschätzung für die Untersuchung der Stabilität etwas?
Bzw. könnte mir jemand sagen wie ich genau vorzugehen habe bei so einem Bsp?
Vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:12 Do 06.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]x'=-x^2*sin(t)[/mm] x(0)=b,b [mm]\in[/mm] R
> Ist die Lösung x(t)=0, [mm]t\ge[/mm] 0 stabil bzw. asymptotisch
> stabil?
> Vielen Dank für die Antwort, Helbig.
> ich habe mich jetzt etwas mehr in dieses Thema eingelesen
> und bei autonomen Dgl ist mir das mit der Stabilität jetzt
> eigentlich klar.
>
> Mir machen eher nicht autonome Dgs etwas Probleme, zum
> Beispiel
>
> ich habe zur obigen Dg einmal die Lösung berechnet,
> [mm]x(t)=\bruch{x_0}{x_0*(-cos(t)+1+c)+1}[/mm]
Soll das die Lösung des AWPs
$ [mm] x'=-x^2\cdot{}sin(t) [/mm] $ x(0)=b
sein ? Wenn ja, so stimmt das nicht. Die Lösung lautet:
[mm]x(t)=\bruch{b}{b*(-cos(t)+1)+1}[/mm]
FRED
> Ich kann ja den Nenner abschätzen
>
> [mm]\bruch{x_0}{x_0*(-cos(t)+1+c)+1} \le \bruch{x_0}{0+1}[/mm] =
> [mm]\bruch{x_0}{1}[/mm] (richtig??)
> bringt mir diese Abschätzung für die Untersuchung der
> Stabilität etwas?
> Bzw. könnte mir jemand sagen wie ich genau vorzugehen habe
> bei so einem Bsp?
>
> Vielen Dank
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Stimmt natürlich, das c war überflüssig, da ich ja bestimmte Integrale hatte und keine unbestimmten und für [mm] x_0 [/mm] hätte ich ja b einsetzen müssen,
Aber die Abschätzung des Nenners wäre doch so richtig, oder?
Ich hoffe jemand kann mir bei der Stabilität helfen, danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 08.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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