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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Amy1988 |
Hallo!
Ich bin wieder an einer Aufgabe und habe ein Problem...
ich soll beweisen oder widerlegen, dass es sich bei einer gegebenen Stammfunktion um die meiner Ausgangsfunktion handelt.
Wie das allgemein funktioniert, weiß ich
F'(x) = f(x)
Nun hapert es mal wieder am Rechnen, Ausklammern oder was weiß ich...jedenfalls komme ich ständig auf irgendwelche anderen Vorzeichen und auch meine Lösung entspricht nicht der Ausgangsfunktion, obwohl dies der Fall sein sollte...
Ich poste mal:
Ausgangsfunktion
[mm] f_a(x) [/mm] = 10x * [mm] e^{-ax^2}
[/mm]
(mögliche)Stammfunktion
[mm] F_a(x) [/mm] = [mm] \bruch{-5}{a}*e^{-ax^2}
[/mm]
So jetzt kommt meine Rechnung:
[mm] F_a(x) [/mm] = [mm] \bruch{-5}{a}*e^{-ax^2} [/mm] <-> [mm] \bruch{-5}{a*e^{ax^2}}
[/mm]
[mm] F_a'(x) [/mm] = [mm] \bruch{e^{ax^2}*2ax*a - (-5)*a*e^{ax^2}}{(a*e^{ax^2})^2}
[/mm]
[mm] F_a'(x) [/mm] = [mm] \bruch{e^{ax^2*(2a^2x+5a)}}{(a*e^{ax^2})^2}
[/mm]
[mm] F_a'(x) [/mm] ) [mm] \bruch{2ax+5}{a*e^{ax^2}}
[/mm]
Das passt ja nicht so ganz zu f(x).
Kann mir vielleicht jemand helfen?!
LG, Amy
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Ich vermute mal, du hast Quotientenregel zum Ableiten angewandt.
> So jetzt kommt meine Rechnung:
> [mm]F_a(x)[/mm] = [mm]\bruch{-5}{a}*e^{-ax^2}[/mm] <->
> [mm]\bruch{-5}{a*e^{ax^2}}[/mm]
Die Umformung ist ok.
> [mm]F_a'(x)[/mm] = [mm]\bruch{e^{ax^2}*2ax*a - (-5)*a*e^{ax^2}}{(a*e^{ax^2})^2}[/mm]
Doch schon hier haben sich Fehler eingeschlichen. Ich vermute mal, du hast erst mal den Nenner abgeleitet. Dann frage ich mich aber, wo die Zählerfunktion, also der Faktor (-5) hinverschwunden ist? 
Ich zeige nochmal die richtige Lösung:
Es ist
[mm]F_{a}(x) = \bruch{u(x)}{v(x)}[/mm]
mit
[mm]u(x) = -5[/mm]
[mm]u'(x) = 0[/mm]
(Konstanten abgeleitet sind 0 !)
und
[mm]v(x) = a*e^{a*x^{2}}[/mm]
[mm]v'(x) = a*2a*x*e^{a*x^{2}} = 2a^{2}*x*e^{a*x^{2}}[/mm]
So, und die Quotientenregel lautet folgendermaßen:
[mm]F'(x) = \left(\bruch{u(x)}{v(x)}\right)'=\bruch{u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)}{(v(x))^{2}}[/mm]
Irgendwie scheinst du bei deiner Rechnung da ziemlich durcheinander gekommen zu sein...
Also ich setze jetzt einfach die Funktionen von oben ein:
[mm]F'(x) = \bruch{u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)}{(v(x))^{2}} = \bruch{0*a*e^{a*x^{2}}-(-5)*2a^{2}*x*e^{a*x^{2}}}{\left(a*e^{a*x^{2}}\right)^{2}}[/mm]
Somit existiert der erste Term im Zähler schon gar nicht mehr! Ich werte nun unten das Quadrat aus, und dann kann man jede Menge kürzen:
[mm]\bruch{0*a*e^{a*x^{2}}-(-5)*2a^{2}*x*e^{a*x^{2}}}{\left(a*e^{a*x^{2}}\right)^{2}} = \bruch{10a^{2}*x*e^{a*x^{2}}}{a^{2}*\left(e^{a*x^{2}}\right)^{2}}[/mm]
Den Rest überlasse ich dir...
Nun noch zu einer wesentlich einfacheren Ableitungsvariante. Wir lassen [mm] F_{a}(x) [/mm] einfach so stehen:
[mm]F_{a}(x) = \bruch{-5}{a}*e^{-ax^2}[/mm]
Und nun können wir doch auch einfach ableiten!
[mm]F_{a}'(x) = \left(\bruch{-5}{a}*e^{-ax^2}\right)' = \underbrace{\bruch{-5}{a}}_{BeliebigAberFest:AlsoKonstant}*\left(e^{-ax^2}\right)'[/mm]
Nun Anwendung der Kettenregel: Äußere * Innere Ableitung:
[mm]F_{a}'(x) = \bruch{-5}{a}*e^{-ax^{2}}*(-2a*x)[/mm]
Und das wirst du ebenfalls schnell zu deiner Ursprungsfunktion vereinfachen können.
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