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Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 Di 07.03.2006
Autor: Gaensebluemchen

Aufgabe
Stammfunktion von 1/X²

1/X integriert gibt ja ln(X), muss man bei 1/X² dann ebenfalls so verfahren? wenn ja oder auch nicht was wäre das Ergebnis? :)

Und warum gilt bei 1/X die Aufleitung ln(x) gibt es da irgendeinen Beweis oder muss man das einfach nicht verstehen?!
wäre dankbar über eine Anwort, danke schon im Vorraus!!!!
mfg Isabella

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:28 Di 07.03.2006
Autor: mathmetzsch

Hallo,

das kann man ganz einfach mit der Potenzregel integrieren!

[mm] f(x)=x^{-2} [/mm]

[mm] \Rightarrow F(x)=-\bruch{1}{x}+C. [/mm]

Viele Grüße
Daniel

Bezug
        
Bezug
Stammfunktion: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:36 Di 07.03.2006
Autor: Gaensebluemchen

ah dankeschön!!!!!! ging doch einfacher als gedacht :)
aber warum weiß man oder wie kann amn sich herleiten, dass 1/x die stammfunktion ln(x) hat???

mfg Isabella

Bezug
                
Bezug
Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 Di 07.03.2006
Autor: Seppel

Hallo Gaensebluemchen!

Dass [mm] $\bruch{1}{x}$ [/mm] die Ableitung von $ln(x)$ ist, kann man erkennen, wenn man die eigentliche Schreibweise für den logarithmus naturalis betrachtet. Dieser ist ja wie folgt definiert:

[mm] $\ln(x)=\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt}$ [/mm]

Laut dem zweiten (ich meine, es ist der zweite) Hauptsatz der Integralrechnung gilt, wenn $F(x)$ eine Stammfunktion ist:

$F'(x)=f(x)$

Für den logarithmus naturalis heißt das also:

[mm] $\ln'(x)=f(x)=\bruch{1}{x}$ [/mm]

[Der logarithmus naturalis ist nämlich die Stammfunktion von [mm] $\bruch{1}{x}$] [/mm]

Ich hoffe, das hilft!

Liebe Grüße
Seppel

Bezug
        
Bezug
Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:53 Di 07.03.2006
Autor: Fugre


> Stammfunktion von 1/X²
>  1/X integriert gibt ja ln(X), muss man bei 1/X² dann
> ebenfalls so verfahren? wenn ja oder auch nicht was wäre
> das Ergebnis? :)
>  
> Und warum gilt bei 1/X die Aufleitung ln(x) gibt es da
> irgendeinen Beweis oder muss man das einfach nicht
> verstehen?!
> wäre dankbar über eine Anwort, danke schon im Vorraus!!!!
>  mfg Isabella
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  

Hallo Gänseblümchen,

also zur ersten Frage möchte ich dir nur einen kleinen Hinweis geben:
[mm] $\frac{1}{x^2}=x^{-2}$ [/mm]

Nun zur zweiten Frage:
Es gibt einen Beweis und der ist noch nicht einmal besonders schwierig,
aber du musst die Integration durch Substitution beherschen.

[mm] $\integral_{}^{}\frac{1}{x} [/mm] dx$ mit [mm] $e^z=\frac{1}{x}$ [/mm] bzw. [mm] $x=e^{-z}$ [/mm]
[mm] $=\integral_{}^{}e^z [/mm] dx$ mit [mm] $\frac{d x}{d z}=x'=-e^{-z}$ $\to [/mm] dx= [mm] -e^{-z}*dz$ [/mm]
[mm] $=\integral_{}^{}e^z *(-e^{-z}) [/mm] dz$
[mm] $=\integral_{}^{}-1 [/mm] dz$
$=-z$ mit [mm] $e^z=x^{-1}$ $\to z=-\ln [/mm] (x)$
[mm] $=\ln(x)$ [/mm]

q.e.d.

Ich hoffe, dass es ersichtlich ist, sollte etwas unklar sein, frag einfach nach.

Gruß
Nicolas

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