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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Fr 23.11.2007 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | 1. [mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin2x*cos2x dx}
[/mm]
2. [mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin2x*cos^{2}2x dx} [/mm] |
Hallo zusammen,
wie finde ich die Stammfunktion von Trigonometrischen Produkten?
Mein schlauer Rechner sagt mir, die Stammfunktion von:
1. [mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin2x*cos2x dx} [/mm] = [mm] [-\bruch{1}{8}cos(4x)]_0^2^\pi
[/mm]
Gibt es da eine Rechenvorschrift?
Die Stammfunktion von
2. [mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin2x*cos^{2}2x dx} [/mm] = [mm] [-\bruch{1}{6}cos^{3}(2x)]_0^2^\pi
[/mm]
Scheint mir nicht so kompliziert, aber ich komme irgendwie nicht drauf. Wäre schön, wenn mir da jemand nachhelfen könnte.
Viele Grüße, Andreas
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> 1. [mm]\integral_{0}^{2\pi}{sin2x*cos2x dx}[/mm]
>
> 2. [mm]\integral_{0}^{2\pi}{sin2x*cos^{2}2x dx}[/mm]
> 1. [mm]\integral_{0}^{2\pi}{sin2x*cos2x dx}[/mm] =
> [mm][-\bruch{1}{8}cos(4x)]_0^2^\pi[/mm]
>
> Gibt es da eine Rechenvorschrift?
Hallo,
hier kann man ja erstmal mit y=2x substituieren,
dann hat man [mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{4\pi}{siny*cosy dy} [/mm] zu lösen.
Das geht mit partieller Integration.
Die zweite auch so ähnlich, vermute ich stark.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Fr 23.11.2007 | | Autor: | ebarni |
Liebe Angela, vielen Dank für Deinen post!
Wenn ich y=2x setze bekomme ich doch:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{siny\cdot{}cosy dx}
[/mm]
Da könnte ich dann mit partieller Integration ansetzen.
Aber wie kommst Du dann auf
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{4\pi}{sin2x\cdot{}cos2x dx}
[/mm]
Grenzen 0 bis [mm] 4\pi [/mm] ??????????
Und [mm] \bruch{1}{2} [/mm] vor dem Integral?
Partielle Integration ist ein guter Tipp! Damit werde ich es mal versuchen.
Liebe Grüße nach K'lautern!
Andreas
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Hallo Andreas,
Angela hat lediglich vergessen, im [mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$ [/mm] das $2x$ jeweils durch $y$ zu ersetzen
Wahrscheinlich copy&paste 
Wenn du $y=2x$ ersetzt, hast du [mm] $y'=\frac{dy}{dx}=2$, [/mm] also [mm] $dx=\frac{dy}{2}$
[/mm]
Außerdem musst du bei der Substitution die Grenzen mit ersetzen:
Die alten waren $x=0$ und [mm] $x=2\pi$, [/mm] das ergibt in $y$ ausgedrückt: $y=0$ und [mm] $y=2\cdot{}2\pi=4\pi$
[/mm]
Also hast du, wenn du alles ersetzt:
[mm] $\int\limits_{0}^{2\pi}{\sin(2x)\cdot{}\cos(2x)\, dx}=\int\limits_{0}^{4\pi}{\sin(y)\cdot{}\cos(y)\,\frac{dy}{2}}$
[/mm]
Die [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] kannst du vor's Integral ziehen und hast dann schließlich [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}\int\limits_{0}^{4\pi}{\sin(y)\cdot{}\cos(y)\, dy}$ [/mm] zu lösen
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Fr 23.11.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo schachuzipus!
Vielen Dank für Deine ausführliche Erklärung. Ich werde das jetzt Mal in Ruhe durchrechnen.
Eventuell macht es Sinn, beim Integral
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin2x\cdot{}cos^{2}2x dx}
[/mm]
das [mm] cos^{2}2x [/mm] durch ein Additionstheorem zu ersetzen?
Oder kann man das auch über partielle Integration mit der entsprechenden Substitution lösen?
Viele Grüße, Andreas
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> Eventuell macht es Sinn, beim Integral
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{sin2x\cdot{}cos^{2}2x dx}[/mm]
>
> das [mm]cos^{2}2x[/mm] durch ein Additionstheorem zu ersetzen?
>
> Oder kann man das auch über partielle Integration mit der
> entsprechenden Substitution lösen?
Ja, so würde ich das machen. Das ist sicher bequemer.
Gruß v. Angela
P.S.: schachuzipus hatte recht - paste© ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 Fr 23.11.2007 | | Autor: | ebarni |
Liebe Angela und schachuzipus,
vielen, vielen Dank für eure Hilfe. Das hört sich jetzt alles machbar an. Werde mich mal an die Aufgaben schmeißen.
Liebe Grüße und schönes WE, Andreas
PS. Vielleicht "sieht" man sich ja noch Mal am Wochenende!
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