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Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:44 So 02.01.2005
Autor: Njord

Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Folgende Funktion ist gegeben: [mm] 6/\wurzel{(3x + 4)} [/mm] von der ich gern wüsste wie die dazugehörige Stammfunktion heisst. Nun habe ich schon versucht über den Logarithmus weiterzukommen aber da es eine verkettete Funktion ist muss ich wohl was falschgemacht haben.  Denn mit dieser Stammfunktion soll die Fläche im Bereich 0 und x=7 berechnet werden wobei 12 als ergebnis rauskommen soll (nur bei mir leider nicht) Hoffe mir kann jemand helfen,


MfG Njord
        
Bezug
Stammfunktion: Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:12 So 02.01.2005
Autor: Paulus

Lieber Njord

[willkommenmr]

Hast du es schon mal mit der Substitutionsmethode versucht?

Zu berechnen ist ja folgendes:

[mm] $\int_{0}^{7}\bruch{6}{\wurzel{3x+4}}\,dx$ [/mm]

Das ginge wohl einfacher, wenn in der Wurzel keine Summe stehen würde!

Deshalb versuche doch einfach den Ansatz, den Ausdruck unter der Wurzel zu substituieren:

$u=3x+4_$

Dann ergibt sich auch [mm] $\bruch{du}{dx}=3$; [/mm]  oder

[mm] $dx=\bruch{du}{3}$ [/mm]

Bei der Formel für $u_$ siehst du auch: wenn man für $x_$ den Wert $0_$ (untere Integrationsgrenze) einsetzt, wird $u_$ zu $4_$, und bei $x = 7_$ wird $u_$ zu $25_$.

Somit transformiert sich das Integral zu

[mm] $\int_{4}^{25}\bruch{6}{\wurzel{u}}*\bruch{1}{3}\, [/mm] du = [mm] 2*\int_{4}^{25}\bruch{1}{\wurzel{u}}\, [/mm] du$

Mit Hilfe von [mm] $\bruch{1}{\wurzel{u}}=u^{-1/2}$ [/mm] und dem Wissen, dass gilt:

[mm] $\int x^\alpha \, [/mm] dx = [mm] \bruch{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} [/mm] + Const$ solltest du jetzt problemlos mit der Aufgabe fertig werden! :-)

Mit lieben Grüssen

Paul
Bezug
                
Bezug
Stammfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:45 Mo 03.01.2005
Autor: Njord

Vielen Dank Paul für die schnelle und sehr präzise Antwort. Ich muss sagen dieses Matheforum ist wirklich sehr informativ und übersichtlich aufgebaut. Großes Lob an die Macher dieser Seite,


MfG Njord
Bezug
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