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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 Mi 12.12.2007 | | Autor: | moody |
| Aufgabe | [mm] \integral_{1}^{-1}{(\bruch{1}{3}*x - 4)^3 dx}
[/mm]
Davon soll man das Integral berechnen. |
Als Stammfunktion habe ich: [mm] \bruch{\bruch{1}{3}x - 4}{4} [/mm] * [mm] \bruch{x^3}{6}-4x
[/mm]
Und dann muss man da ja 1 einsetzen und davon dasselbe mit -1 eingesetzt abziehen.
Dabei komme ich auf ~ -511
Ich denke mal meine Stammfunktion ist falsch.
Kann jmd. helfen?
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Hallo!
Deine Stammfunktion sieht in der Tat merkwürdig aus.
Ich würde einfach diese bin. Formel ausrechnen, das geht am schnellsten / sichersten.
(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
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Hey moody!
Ich würd dir bei der Aufgabe raten zu substituieren. Hier hast du zwar Glück das nach der Klammer hoch drei steht und dir mit dem paskalischen Dreieck die binomische Formel herleiten kannst, aber wenn da hoch 99 z.B. stehen würde, wärs nicht mehr so einfach. Also mit Substituition die Stammfunktion lösen, damit du schwierigere Aufgaben auch auf die Reihe bekommst. Ich denke das möchte auch der Lehrer sehen.
Gruss
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> [mm]\integral_{1}^{-1}{(\bruch{1}{3}*x - 4)^3 dx}[/mm]
>
Die Berechnung des Integrals ist immer mit der Suche nach der Stammfkt. verknüpft. Wie könnte diese heißen? Mache einen Versuch. Führt er zum Erfolg, ist das Problem gelöst, wenn nicht, musst du einen anderen Weg suchen (z.B. kompliziertes Auflösen der Klammern).
[mm] (\bruch{1}{3}*x [/mm] - [mm] 4)^3 [/mm] ist die Ableitung einer zu suchenden Fkt. F(x). Welche bietet sich an? Natürlich
[mm] F_1(x)=(\bruch{1}{3}*x [/mm] - [mm] 4)^4
[/mm]
Machen wir die Probe durch Ableiten:
Die Ableitung gibt [mm] 4*(\bruch{1}{3}*x [/mm] - [mm] 4)^3 [/mm] *innere Ableitung = [mm]4*(\bruch{1}{3}*x - 4)^3 *\bruch{1}{3}
=\bruch{4}{3}*(\bruch{1}{3}*x - 4)^3 [/mm], ergibt also das [mm] \bruch{4}{3}-fache [/mm] des Integranden. Deshalb korrigieren wir nun [mm] F_1(x) [/mm] um den Faktor [mm] \bruch{3}{4} [/mm] zu
[mm] F(x)=\bruch{3}{4}*(\bruch{1}{3}*x [/mm] - [mm] 4)^4.
[/mm]
Leitet man diese Fkt. nochmals zur Kontrolle ab, ergibt sich der Integrand.
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