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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Jay-Jay |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\bruch{4}{1+x²}
[/mm]
Der Flächeninhalt eines achsenparallelen Rechtecks, von dessen Eckpunkten zwei auf dem Graphen der Funktion f und zwei auf der x-Achse liegen, soll maximal sein. Wie sind die Eckpunkte zu wählen? |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Dazu hatte ich dann den Ansatz A=x * [mm] \bruch{4}{1+x²} [/mm] , da ja FLächeninhalt Rechteck a*b, in meinem Fall x*f(x)
Habe auch schon die Eckpunkte heraus, die müssten bei 1 und -1 sein.
Ist zwar nicht gefragt, aber jetzt versuchte ich den Flächeninhalt auszurechnen.
Doch wie komme ich auf die Stammfunktion von A= [mm] \bruch{4x}{1+x²} [/mm] ?
Muss ich da eine Partialbruchzerlegung durchführen? Wie gehts das genau?
Danke schonmal im Voraus:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Mi 13.02.2008 | | Autor: | abakus |
> [mm]f(x)=\bruch{4}{1+x²}[/mm]
> Der Flächeninhalt eines achsenparallelen Rechtecks, von
> dessen Eckpunkten zwei auf dem Graphen der Funktion f und
> zwei auf der x-Achse liegen, soll maximal sein. Wie sind
> die Eckpunkte zu wählen?
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Dazu hatte ich dann den Ansatz A=x * [mm]\bruch{4}{1+x²}[/mm] , da
> ja FLächeninhalt Rechteck a*b, in meinem Fall x*f(x)
>
> Habe auch schon die Eckpunkte heraus, die müssten bei 1 und
> -1 sein.
> Ist zwar nicht gefragt, aber jetzt versuchte ich den
> Flächeninhalt auszurechnen.
>
> Doch wie komme ich auf die Stammfunktion von A=
> [mm]\bruch{4x}{1+x²}[/mm] ?
>
> Muss ich da eine Partialbruchzerlegung durchführen? Wie
> gehts das genau?
>
> Danke schonmal im Voraus:)
Hallo Jay-Jay
was willst du hier mit einer Stammfunktion? Es geht doch nur um eine Rechteckfläche. Du benötigst eine beliebige Parallele zur x-Achse, die den Funktionsgraphen in zwei Punkten schneidet. Von denen fällst du die Lote auf die x-Achse und hast damit dein achsenparalleles Rechteck.
Vom Abstand der gewählten Parallelen zur x-Achse hängt die Höhe des Rechtecks ab, vom Abstand der beiden Schnittpunkte die Breite.
Versuchs mal so!
Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Gogeta259 |
Dein Ansatz für die Fläche ist falsch, es muss lauten:
[mm] A(x)=2*x*\bruch{4}{1+x^2}=4*\bruch{2x}{1+x^2}
[/mm]
Zur Stammfunktion:
Jetzt Musst du die Stammfunktion von [mm] 2x/(1+x^2) [/mm] finden (die Konstante 4 multiplizierst du dann einfach dazu):
die Stammfunktion findest ist durch Substitution mit:
[mm] t=1+x^2 [/mm] ==> dt=2*x*dx
==> musst das integral [mm] \integral{{4(2x/(1+x^2))} dx}=4\integral{\bruch{dt}{t}}=4\ln [/mm] t +c [mm] =4\ln (1+x^2)+c
[/mm]
Aber die Stammfunktion brauchst du doch gar nicht! du musst A(x) ableiten und den Wert für maximales A zu finden, dann setzst du diese x in A(x) und hast den Flächeninhalt.
Jetzt wünsch ich dir noch viel Spaß bei der restlichen Aufgabe.
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