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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Mi 03.09.2008 | | Autor: | leuchte |
| Aufgabe | 1. Der Graph einer Stammfunktion von f mit [mm] f(x)=x^3 [/mm] hat in den Schnittpunkten mit der x-Achse Tangenten, die orthogonal zueinander sind. Bestimmen Sie diese Stammfunktion.
2. Welche Stammfunktion von f mit f(x)= 1-3x haben nur negative Funktionswerte?
3. Welche Stammfunktionen von f mit [mm] f(x)=x^2 [/mm] haben an ihrer Nullstelle die Ableitung 2 ? |
Hallo ihr lieben
das ist meine hausaufgabe für morgen und ich weiß einfach nicht sdamit anzufangen. also die schnittpunkte mit der x-achse sind ja die nullstellen aber wie fang ich überhaupt erst an und wie muss ich das mit den orthogonalen tangenten reinbringen. tut mir leid dass ich noch keinen tipp von mir selbst hab aber über eure hilfe würd ich mich trotzdem freuen,weil ich diese aufgabe einfach nicht verstehe.
danke schon mal im voraus
liebe grüße eure leuchte
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> 1. Der Graph einer Stammfunktion von f mit [mm]f(x)=x^3[/mm] hat in
> den Schnittpunkten mit der x-Achse Tangenten, die
> orthogonal zueinander sind. Bestimmen Sie diese
> Stammfunktion.
> 2. Welche Stammfunktion von f mit f(x)= 1-3x haben nur
> negative Funktionswerte?
> 3. Welche Stammfunktionen von f mit [mm]f(x)=x^2[/mm] haben an
> ihrer Nullstelle die Ableitung 2 ?
> Hallo ihr lieben
>
> das ist meine hausaufgabe für morgen und ich weiß einfach
> nicht sdamit anzufangen. also die schnittpunkte mit der
> x-achse sind ja die nullstellen aber wie fang ich überhaupt
> erst an und wie muss ich das mit den orthogonalen tangenten
> reinbringen.
Zu 1: Du fängst am besten damit an, eine allgemeine Stammfunktion von $f(x)$ hinzuschreiben. Du weisst ja, dass sich die Stammfunktionen von $f(x)$ nur um eine additive Konstante unterscheiden. Also muss die gesuchte Stammfunktion die Form [mm] $F(x)=\frac{1}{4}x^4-c$ [/mm] haben, wobei $c$ aufgrund der weiteren Bedingung über die sich senkrecht schneidenden Tangenten in den beiden Nullstellen von $F$ bestimmt werden muss.
Die Nullstellen von $F(x)$ ergeben sich einfach als die Lösungen der Gleichung $F(x)=0$, also [mm] $\frac{1}{4}x^4-c=0$. [/mm] Ergibt [mm] $x_{1,2}=\pm \sqrt[4]{4c}$.
[/mm]
Nun musst Du noch wissen, wie Du die Orthogonalität der Tangenten in diesen beiden Nullstellen von $F(x)$ als Gleichung formulieren kannst. Kurz gesagt: zwei Geraden [mm] $g_1:y=m_1x+q_1$ [/mm] und [mm] $g_2:y=m_2x+q_2$ [/mm] stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn gilt [mm] $m_1=-1/m_2$. [/mm] Diese Bedingung musst Du nun mit Hilfe der Ableitung von $F(x)$ (die ja nichts anderes als $f(x)$ ist) verwenden, um den gesuchten Wert von $c$ zu bestimmen.
Zu 2: Die Stammfunktionen von $f(x)= 1-3x$ sind von der Form [mm] $F(x)=-\frac{3}{2}x^2+x+c$. [/mm] Deren Graphen sind also nach unten geöffnete quadratische Parabeln. Eine solche Funktion $F(x)$ nimmt somit offenbar genau dann nur negatie Werte an, wenn ihre quadratische Nullstellengleichung $F(x)=0$ keine Lösung hat, wenn also die sogenannte Diskriminante dieser quadratischen Gleichung $<0$ ist. Daraus musst Du die gesuchten Werte von $c$ (und damit auch die gesuchten Stammfunktionen $F(x)$) bestimmen. (Du kannst natürlich $c$ auch daraus bestimmen, dass die $y$-Koordinate des Scheitelpunktes der Parabel $y=F(x)$ kleiner als $0$ sein muss.)
Zu 3: Auch hier machst Du zuerst den Ansatz [mm] $F(x)=\frac{1}{3}x^3+c$ [/mm] für eine zunächst noch beliebige Stammfunktion von [mm] $f(x)=x^2$. [/mm] Nun musst Du die zusätzliche Bedingung, dass in etwaigen Nullstellen $x$ von $F$ die Ableitung $F'(x)$ gleich 2 ist, verwenden, um den Wert von $c$ weiter einzuschränken.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Mi 03.09.2008 | | Autor: | leuchte |
Vielen Dank, bis zu den Gleichungen der Tangenten hat ic
das auch schon so überlegt,aber ichverstehe leider immer noch nicht inwiefern ich die gleichung m1 = -1 / m2 mit [mm] f(x)=x^3 [/mm] in verbindung setzten kann.
sorry aber ich hoffe dass du mir noch mal helfen könntest
danke
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Hallo, du hast ja die Funktion [mm] \bruch{1}{4}x^{4}-c [/mm] zu bearbeiten, jetzt sollen die beiden Tangenten an die Funktion in den Nullstellen zueinander senkrecht stehen, den Anstieg der Tangenten bekommst du über die 1. Ableitung der Funktion [mm] \bruch{1}{4}x^{4}-c, [/mm] das ist doch [mm] f(x)=x^{3}, [/mm]
Steffi
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> Vielen Dank, bis zu den Gleichungen der Tangenten hat ic
> das auch schon so überlegt,aber ichverstehe leider immer
> noch nicht inwiefern ich die gleichung m1 = -1 / m2 mit
> [mm]f(x)=x^3[/mm] in verbindung setzten kann.
> sorry aber ich hoffe dass du mir noch mal helfen könntest
> danke
Um Dir noch einen Schritt mehr entgegenzukommen, als dies Steffi eigentlich vorgesehen hat: Die Nullstellen von $F(x)$ waren also [mm] $x_{1,2}=\pm\sqrt[4]{4c}$. [/mm] Die Bedingung für das Senkrechtstehen der Tangenten in diesen beiden Nullstellen lautet somit
[mm]f\big(\sqrt[4]{4c}\big)=-\frac{1}{f\big(-\sqrt[4]{4c}\big)}[/mm]
Diese Gleichung sieht, wenn Du sie nun unter Verwendung von [mm] $f(x)=x^3$ [/mm] umschreibst, wilder aus als sie ist. Letztlich findest Du, dass $4c=1$ sein muss.
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