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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 So 05.10.2008 | | Autor: | sunny9 |
Guten Tag,
ich hab eine Frage: Wie könnte die Stammfunktion von
1/ wurzel aus (3x+2) sein?
hab gedacht man könnte (3x)^-0,5 + 2^-0,5
machen, oder sowas in die Richtung?
Wäre sehr dankbar über eine Antwort.
Herzliche Grüße
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Hallo sunny9,
> Guten Tag,
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> ich hab eine Frage: Wie könnte die Stammfunktion von
>
> 1/ wurzel aus (3x+2) sein?
>
> hab gedacht man könnte (3x)^-0,5 + 2^-0,5 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist i.A. [mm] $\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$
[/mm]
Du darfst die Wurzel also nicht so ohne weiteres auseinanderziehen
Andererseits ist die Idee, die Wurzel als Potenz zu schreiben, sehr gut!
Es ist [mm] $\int{\frac{1}{\sqrt{3x+2}} \ dx}=\int{(3x+2)^{-\frac{1}{2}} \ dx}$
[/mm]
Nun ist die Substitution [mm] $\blue{u:=3x+2}$ [/mm] angesagt:
Damit ist [mm] $u'=\frac{du}{dx}=3$, [/mm] also [mm] $\green{dx=\frac{du}{3}}$
[/mm]
Also ist [mm] $\int{(\blue{3x+2})^{-\frac{1}{2}} \ \green{dx}}=\int{\blue{u}^{-\frac{1}{2}} \ \green{\frac{du}{3}}}=\frac{1}{3}\cdot{}\int{u^{-\frac{1}{2}} \ du}$
[/mm]
Das berechne nun mal. Das Ergebnis am Ende resubstituieren mit $u=3x+2$
>
> machen, oder sowas in die Richtung?
>
> Wäre sehr dankbar über eine Antwort.
>
> Herzliche Grüße
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 So 05.10.2008 | | Autor: | sunny9 |
Vielen Dank schon mal, aber was ist Substitution?
Wir hatten das noch nicht. Ich hab aber neu nachgedacht und gedacht vielleicht kann ich die Kettenregel anwenden?
Also bei deinem Ansatz $ [mm] \int{\frac{1}{\sqrt{3x+2}} \ dx}=\int{(3x+2)^{-\frac{1}{2}} \ dx} [/mm] $
u = x^-0,5 u' = [mm] 2x^0,5
[/mm]
v = 3x +2 v' = [mm] 1,5x^2 [/mm] + 2x
F(x) = [mm] 2(3x+2)^0,5 [/mm] * [mm] 1,5x^2 [/mm] + 2
Wie ist das? Ich bin mir sonst nicht sicher, wie ich bei der Substitution weitermachen soll.
Weiter zusammenfassen geht nicht mehr? Oder?
Herzliche Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 So 05.10.2008 | | Autor: | Disap |
Hallo sunny9!
> Vielen Dank schon mal, aber was ist Substitution?
Ich glaube, das lassen wir dann mal 
> Wir hatten das noch nicht. Ich hab aber neu nachgedacht
> und gedacht vielleicht kann ich die Kettenregel anwenden?
Die Idee ist schon mal gut. Wenn du Ableiten kannst, kannst du auch integrieren.
> Also bei deinem Ansatz [mm]\int{\frac{1}{\sqrt{3x+2}} \ dx}=\int{(3x+2)^{-\frac{1}{2}} \ dx}[/mm]
Ich nehme mal an, du hast diese Umformung verstanden?
Dann Überleg doch mal, was passiert, wenn du das ableitest?
[mm] [(3x+2)^{-\frac{1}{2}}]' [/mm] ist nach Kettenregel
[mm] 3*(-\frac{1}{2})*(3x+2)^{-\frac{3}{2}}
[/mm]
Beobachtung: Wenn du ableitest, bekommst du einen Faktor, die mal 3. Wenn du integrierst, benötigst du für die Stammfunktion F(x) also den FAktor 1/3. Warum? Weil wenn du F(x) ableitest, erhälst du doch wieder den faktor 3 und damit 3*1/3 = 1, sodass du hoffentlich wieder auf deinen Term f(x) kommst.
Halten wir also fest, F(x) hat schon einmal den Faktor 1/3
Wie integrierst du [mm] x^4? [/mm] Du erhöst den Exponenten um 1 und schreibst den Faktor 1/5 davor, also
[mm] \int x^4 [/mm] dx = [mm] \frac{1}{5}x^5
[/mm]
Richtig?
Dasselbe machst du bei deinem Term [mm] (3x+2)^{-1/2} [/mm] auch, du addierst eine 1 zur -1/2, ergibt also 1/2.
Und nun packst du den noch vor deine Funktion, sodass sich ergibt
$F(x) = [mm] \frac{1}{3}*\frac{1}{\frac{1}{2}}*(3x+2)^{1/2} [/mm] = [mm] \frac{1}{3}*2*(3x+2)^{1/2}$
[/mm]
Hast du die Idee dahinter verstanden?
Für das Integrieren gilt immer
[mm] $\int x^n [/mm] dx = [mm] \frac{1}{n+1} x^{n+1}$
[/mm]
D. h. rechts steht die Stammfunktion von x und n ist einfach nur eine beliebige Zahl, wie z. B. 1/2 oder -6 oder 93 (aber nicht -1, da gibt es einen Spezialfall, der ist aber hier nicht wichtig)
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> u = x^-0,5 u' = [mm]2x^0,5[/mm]
> v = 3x +2 v' = [mm]1,5x^2[/mm] + 2x
>
> F(x) = [mm]2(3x+2)^0,5[/mm] * [mm]1,5x^2[/mm] + 2
>
> Wie ist das? Ich bin mir sonst nicht sicher, wie ich bei
> der Substitution weitermachen soll.
> Weiter zusammenfassen geht nicht mehr? Oder?
Das habe ich alles nicht mehr gelesen.
> Herzliche Grüße
Mfg
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:35 So 05.10.2008 | | Autor: | sunny9 |
Ahhh..., jetzt hab ich's verstanden. Vielen Dank.
LG
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