Stammfunktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] differenzierbar, f(0) = 1 und f'(x) = 2x +1.
Dann ist f(x) = [mm] x^2 [/mm] + x + 1 für alle x [mm] \in \IR. [/mm] |
Also ich habe keinen Ansatz, wie man das außer mit dem Bilden einer Stammfunktion lösen kann.
Also ich denke es wäre zu einfach, wenn ich einfach f(x) annhemen würde, dann die Abbildung davon bilden würde und außerdem noch zeigen würde, dass f(0) = 1 ist.
Ein Tipp wäre super.
|
|
| |
|
> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] differenzierbar, f(0) = 1 und f'(x) = 2x
> +1.
> Dann ist f(x) = [mm]x^2[/mm] + x + 1 für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
> Also ich
> habe keinen Ansatz, wie man das außer mit dem Bilden einer
> Stammfunktion lösen kann.
Hallo,
das ist doch ein Ansatz.
Falls Ihr "Stammfunktion" schon hattet, kannst Du berechnen, wie sie aussieht, und dann mithilfe des vorgegebenen Funktionswertes zeigen, daß es genau die angegebene sein muß.
So würd' ich das machen.
Gruß v. Angela
> Also ich denke es wäre zu einfach, wenn ich einfach f(x)
> annhemen würde, dann die Abbildung davon bilden würde und
> außerdem noch zeigen würde, dass f(0) = 1 ist.
>
> Ein Tipp wäre super.
>
>
|
|
|
| |
|
Mit einer Stammfunktion wäre das ja einfach.
Das Problrm ist, dass wir noch keine Stammfunktionen hatten und deshalb finde ich es schwer, einen anderen Lösungsweg zu finden.
Hat jemand ne Idee, wie man es anders machen kann?
|
|
|
| |
|
Hallo,
da ihr Stammfunktionen (bzw. die Integralrechnung) noch nicht eingeführt habt, ist deine erste Idee die richtige. Leite f ab und zeige, dass df/dx die angegeben Funktion f' ist und dass außerdem f(0)=1 gilt.
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:23 Fr 09.01.2009 | | Autor: | pelzig |
> da ihr Stammfunktionen (bzw. die Integralrechnung) noch
> nicht eingeführt habt, ist deine erste Idee die richtige.
> Leite f ab und zeige, dass df/dx die angegeben Funktion f'
> ist und dass außerdem f(0)=1 gilt.
Damit hat man gezeigt [mm] $f(x)=x^2+x+1\Rightarrow f(0)=1\text{ und }f'(x)=2x+1$ [/mm] - gefragt ist aber nach der Umkehrung der Aussage. Es bleibt also zu zeigen dass [mm] $f(x)=x^2+x+1$ [/mm] die einzige Funktion mit diesen Eigenschaften ist. Zeige dazu:
1) Ist [mm] f:\IR\to\IR [/mm] differenzierbar und $f'(x)=0$, so ist f konstant. Benutze dazu den Mittelwertsatz.
2) Folgere: Sind g,f differenzierbar mit g'=f', so ist g=f+C für eine konstante [mm] $C\in\IR$
[/mm]
3) Wende 2) auf die Aufgabe an.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 22:34 Fr 09.01.2009 | | Autor: | XPatrickX |
Stimmt du hast recht!
Sorry, habe meine alte Antwort editiert...
|
|
|
|
