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| Aufgabe | Geben Sie eine Stammfunktion von
[mm] \wurzel{2x^2-6x+2} [/mm] an |
Hallo zusammen,
ich hab hier so meine Schwierigkeiten mit der Stammfunktion. Mir fehlt eine Idee wie man in so einem Fall vorgeht. Welches Verfahren kann man anwenden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Mo 19.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Also prinzipiell kannst du eine Stammfunktion einfach hinschreiben durch [mm] $$F(x):=\int_{x_0}^x\sqrt{2t^2-6t+2}\ [/mm] dt$$ wobei [mm] $x_0\in\IR$ [/mm] völlig beliebig gewählt werden kann. Genügt das nicht?
Gruß, Robert
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Ich befürchte, dass das wohl nicht ganz ausreicht. Kann mir nicht vorstellen, dass es für diese Lösung in einer Klausur 4 Punkte gäbe 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Mo 19.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Naja, da könnte man jetzt diskutieren. Für einen reinen Mathematiker ist die Aufgabe mit dem was ich oben geschrieben habe prinzipiell gelöst, er hat eine Stammfunktion explizit hingeschrieben. Alles weitere sind ja im Grunde nur "Rechentricks" und Vereinfachungen, dafür gibt es Computer und Leute die zu viel Zeit haben. Für die 4 Punkte sollte man dann evtl. noch begründen (Stetigkeit des Integranden, Hauptsatz der D&I-Rechung usw.) warum das klappt. Damit hat man jedenfalls wesentlich mehr Verständnis gezeigt als jeder Physiker, der dir das Integral sicher in 5 Minuten "ausrechnet".
Ich würde sagen es kommt dann echt drauf an in welchem Kontext die Aufgabe gestellt wurde und bevor ich gar nichts schreiben würde, würde ich auf jeden Fall meine Lösung von oben schreiben.
Die exakte Lösung lautet übrigens (laut Mathematica) [mm] $$\frac{(4x-6)\sqrt{1-3x+x^2}-5\log(2x-3+2\sqrt{1-3x+x^2})}{\sqrt{32}}$$Aber [/mm] wie gesagt... wozu gibts Computer?
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Nils92 |
Joa du könntest die Funktion ja einfach integrieren mit dem Hauptsatz:
der besagt ja:
[mm] f(x)=x^n [/mm] --> F(x)= [mm] \bruch{1}{n+1}*x^{n+1}
[/mm]
> Geben Sie eine Stammfunktion von
> [mm]\wurzel{2x^2-6x+2}[/mm] an
Dann wendeste das einfach an:
Tipp:
[mm] \wurzel{x} [/mm] = [mm] x^{\bruch{1}{2}} [/mm] oder auch [mm] \wurzel[n]{x}= x^{\bruch{1}{n}}
[/mm]
> Hallo zusammen,
> ich hab hier so meine Schwierigkeiten mit der
> Stammfunktion. Mir fehlt eine Idee wie man in so einem Fall
> vorgeht. Welches Verfahren kann man anwenden?
Probiers einfach mal so zu integrieren, und schreib dein Ergebnis hier zum kontrollieren rein
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> Joa du könntest die Funktion ja einfach integrieren mit
> dem Hauptsatz:
>
> der besagt ja:
>
> [mm]f(x)=x^n[/mm] --> F(x)= [mm]\bruch{1}{n+1}*x^{n+1}[/mm]
>
> > Geben Sie eine Stammfunktion von
> > [mm]\wurzel{2x^2-6x+2}[/mm] an
>
> Dann wendeste das einfach an:
> Tipp:
> [mm]\wurzel{x}[/mm] = [mm]x^{\bruch{1}{2}}[/mm] oder auch [mm]\wurzel[n]{x}= x^{\bruch{1}{n}}[/mm]
>
> > Hallo zusammen,
> > ich hab hier so meine Schwierigkeiten mit der
> > Stammfunktion. Mir fehlt eine Idee wie man in so einem Fall
> > vorgeht. Welches Verfahren kann man anwenden?
>
> Probiers einfach mal so zu integrieren, und schreib dein
> Ergebnis hier zum kontrollieren rein
Hallo,
ich fürchte, das funktioniert nicht...
Mach's mal selbst und kontrolliere dein Ergebnis durch Ableiten.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:45 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Nils92 |
Joa du könntest die Funktion ja einfach integrieren mit dem Hauptsatz:
der besagt ja:
[mm] f(x)=x^n [/mm] --> F(x)= [mm] \bruch{1}{n+1}*x^{n+1}
[/mm]
> Geben Sie eine Stammfunktion von
> [mm]\wurzel{2x^2-6x+2}[/mm] an
Dann wendeste das einfach an:
Tipp:
[mm] \wurzel{x} [/mm] = [mm] x^{\bruch{1}{2}} [/mm] oder auch [mm] \wurzel[n]{x}= x^{\bruch{1}{n}}
[/mm]
> Hallo zusammen,
> ich hab hier so meine Schwierigkeiten mit der
> Stammfunktion. Mir fehlt eine Idee wie man in so einem Fall
> vorgeht. Welches Verfahren kann man anwenden?
Probiers einfach mal so zu integrieren, und schreib dein Ergebnis hier zum kontrollieren rein
ja stimmt geht net, die Funktion ist nicht stetig, ja dann müsste eine Integration doch nicht funktionieren,oder?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:47 Mo 19.10.2009 | | Autor: | derdickeduke |
Doch Nils,
Es muss finktionieren. Die Frage ist nur wie.
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> Doch Nils,
> Es muss finktionieren. Die Frage ist nur wie.
Hallo,
ich meine, daß man so zum Ziel kommen sollte:
[mm] \integral\wurzel{2x^2-6x+2}dx =\wurzel{2}\integral\wurzel{x^2-3x+1}dx
[/mm]
Jetzt den Ausdruck unter der Wurzel substituieren.
Man erhält (ganz grob, Konstanten lasse ich weg) sowas wie
[mm] \integral t*\bruch{2t}{\wurzel{t^2 +...}}dt
[/mm]
Nun eine partielle Integration, im Anschluß daran muß man
[mm] \integral ln({\wurzel{t^2 +...}}) [/mm] dt beackern - ich fürchte, hier muß man erneut substituieren, aber es scheint mir machbar zu sein.
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Andere Idee für den Start:
[mm] \integral\wurzel{x^2-3x+1}dx =\integral\wurzel{(x-\bruch{3}{2})^2-\bruch{5}{4}}dx=\wurzel{\bruch{5}{4}}\integral\wurzel{[\bruch{2}{\wurzel{5}}(x-\bruch{3}{2})]^2 -1},
[/mm]
und jetzt substituieren [mm] \bruch{2}{\wurzel{5}}(x-\bruch{3}{2})=cosht, [/mm] und dann weiter.
Ich lasse es mal halbbeantwortet, ich bin ja auch nicht so der Integralprofi.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 15:37 Di 20.10.2009 | | Autor: | derdickeduke |
Hi, Vielen Dank für deine Antwort
> Hallo,
>
> ich meine, daß man so zum Ziel kommen sollte:
>
> [mm]\integral\wurzel{2x^2-6x+2}dx =\wurzel{2}\integral\wurzel{x^2-3x+1}dx[/mm]
>
> Jetzt den Ausdruck unter der Wurzel substituieren.
>
> Man erhält (ganz grob, Konstanten lasse ich weg) sowas wie
>
> [mm]\integral t*\bruch{2t}{\wurzel{t^2 +...}}dt[/mm]
>
> Nun eine partielle Integration, im Anschluß daran muß man
>
> [mm]\integral ln({\wurzel{t^2 +...}})[/mm] dt beackern - ich
> fürchte, hier muß man erneut substituieren, aber es
> scheint mir machbar zu sein.
Tut mir Leid; das verstehe ich noch nicht so ganz. Wie substituierst du da?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 Di 20.10.2009 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo derdickeduke!
Angela hat Dir hier einen groben Fahrplan vorgezeigt (der auch aufzugehen scheint).
Bitte rechne doch nun vor, wie weit Du gekommen bist, damit wir dasim Detail klären können.
Gruß vom
Roadrunner
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> Andere Idee für den Start:
>
> [mm]\integral\wurzel{x^2-3x+1}dx =\integral\wurzel{(x-\bruch{3}{2})^2-\bruch{5}{4}}dx=\wurzel{\bruch{5}{4}}\integral\wurzel{[\bruch{2}{\wurzel{5}}(x-\bruch{3}{2})]^2 -1},[/mm]
>
> und jetzt substituieren
> [mm]\bruch{2}{\wurzel{5}}(x-\bruch{3}{2})=cosht,[/mm] und dann
> weiter.
also wenn ich [mm] \bruch{2}{\wurzel{5}}(x-\bruch{3}{2})=cosht [/mm] setze hab ich für dx= [mm] \bruch{dt}{sinh(t)}
[/mm]
dann hätt ich ja [mm] \wurzel{sinh^2(t)}*\bruch{dt}{sinh(t)}
[/mm]
wenn ich jetz aber [mm] \bruch{1}{sinh(t)} [/mm] unter die Wurzel bringe steht unter der Wurzel ja nur noch die eins;
kann des dann stimmen?
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Hallo chrissi!
> also wenn ich [mm]\bruch{2}{\wurzel{5}}(x-\bruch{3}{2})=cosht[/mm]
> setze hab ich für dx= [mm]\bruch{dt}{sinh(t)}[/mm]
Aufgepasst: da fehlt noch ein (konstanter) Faktor!
> dann hätt ich ja [mm]\wurzel{sinh^2(t)}*\bruch{dt}{sinh(t)}[/mm]
> wenn ich jetz aber [mm]\bruch{1}{sinh(t)}[/mm] unter die Wurzel
> bringe steht unter der Wurzel ja nur noch die eins;
> kann des dann stimmen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Warum nicht? So wird es doch schön einfach.
Gruß vom
Roadrunner
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> > also wenn ich [mm]\bruch{2}{\wurzel{5}}(x-\bruch{3}{2})=cosht[/mm]
> > setze hab ich für dx= [mm]\bruch{dt}{sinh(t)}[/mm]
>
> Aufgepasst: da fehlt noch ein (konstanter) Faktor!
was denn für einen konstanten Faktor? ich hab doch sonst nur noch das, vor dem Integral
und wenn ich dann das integrier bekomm ich ja t raus, wie substituier ich denn da dann wieder zurück? ich hab ja mit cosh(t) substituiert und nicht mit t;
lg
chrissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 26.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> ja stimmt geht net, die Funktion ist nicht stetig, ja dann
> müsste eine Integration doch nicht funktionieren,oder?
Hallo,
doch, stetig ist die Funktion.
Die von Dir vorgeschlagene Vorgehensweise funktioniert nicht, weil man beim Ableiten ja die Kettenregel verwenden muß, und die muß man beim Integrieren von verketteten Funktionen berücksichtigen.
Wie gesagt. probier mal aus, was Du vorgeschlagen hast, und leite dann ab, da siehst Du den Schlamassel. Er ist lehrreich.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:07 Mo 19.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Joa du könntest die Funktion ja einfach integrieren mit
> dem Hauptsatz:
>
> der besagt ja:
>
> [mm]f(x)=x^n[/mm] --> F(x)= [mm]\bruch{1}{n+1}*x^{n+1}[/mm]
Was auch immer das sein soll -- "Der" Hauptsatz sagt das ganz bestimmt nicht aus.
Meinst du vielleicht den Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung? Der sagt etwas voellig anderes aus...
LG Felix
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