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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Di 21.06.2005 | | Autor: | Quaoar |
Hallo,
ich habe so ziehmlich das selbe Problem wie Arkus.
Nur das ich eine Funktionenschar habe:
$ [mm] f_{t}(x) [/mm] \ := \ [mm] \bruch{t+ \ln(x)}{x} [/mm] $
Auch ich habe es zuerst mit partieller Integration versucht
und bin gescheitert.
Nach dem Posting von Loddar habe ich es dann auch mit der Substitution
versucht:
$ s \ := \ [mm] t+\ln(x) [/mm] $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ s' = [mm] \bruch{ds}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] $ [mm] \gdw [/mm] $ dx = x * ds $
Dannach habe ich es eingesetzt:
$ [mm] \integral_{}^{} {\bruch{t + \ln(x)}{x}dx} [/mm] $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] \integral_{}^{} {\bruch{s}{x}*x ds} [/mm] $
Das kann ich dann kürzen und Integrieren und erhalte dann:
$ [mm] \bruch{1}{2}s^{2} [/mm] $
Jetzt habe ich das s wieder umgewandelt:
$ [mm] \bruch{1}{2}s^{2} [/mm] $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] \bruch{1}{2}(t [/mm] + [mm] \ln(x))^{2} [/mm] $
Ist das so richtig oder hab ich irgendwas falsch gemacht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Di 21.06.2005 | | Autor: | Quaoar |
Hallo,
erst mal danke für das Lob.
Ich habe die Konstante vernachlässigt, weil ich das Integral noch genauer bestimmen muss.
Aber noch eine andere Frage:
Ich habe das Integral noch einmal von Derive berechnen lassen.
Derive gibt mir dieses Ergebnis zurück:
$ [mm] \bruch{(\ln(x))^{2}}{2} [/mm] + t * [mm] \ln(x) [/mm] $
Wie kann das sein?
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Hi, Alex,
hier siehst Du genau das Problem der Konstanten beim unbestimmten Integral!
"Dein" Ergebnis ist:
[mm] \bruch{1}{2}*(t+ln(x))^{2} [/mm] + [mm] c_{1} [/mm] (Konstante NICHT weglassen; auch nicht aus Faulheitsgründen!)
DERIVE liefert: [mm] \bruch{(ln(x))^{2}}{2} [/mm] + t*ln(x) + [mm] c_{2}
[/mm]
Das ist dasselbe!
Beweis:
[mm] \bruch{1}{2}*(t+ln(x))^{2} [/mm] + [mm] c_{1}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*(t^{2} [/mm] +2*t*ln(x) + [mm] (ln(x))^{2}) [/mm] + [mm] c_{1}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*(ln(x))^{2} [/mm] + t*ln(x) + [mm] \bruch{1}{2}* t^{2}+ c_{1}
[/mm]
Nun brauchst Du nur noch die beiden Konstanten am Ende zusammenzufassen und dem Ganzen "einen neuen Namen zu geben", nämlich: [mm] c_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}* t^{2}+ c_{1}
[/mm]
und schon ist's bewiesen!
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Alles richtig gemacht!
...
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