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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 So 22.05.2005 | | Autor: | petzimuh |
Hallo!
Ich sitze schon ziemlich lange an dieser Aufgabe und komme einfach nicht weiter!
Die Aufgabe lautet:
"Sei r >0. Berechnen Sie
[mm] \integral_{-r}^{r} \wurzel{r^2 - x^2} [/mm] dx .
Welche geometrische Fragestellung wird durch dieses Integral beantwortet?"
Ich habe schon alles mögliche versucht, durch Substitution und dann weiters durch partielle Integration weiter zu kommen, aber ich bleibe jedesmal stecken!
Auch bei der unteren Fragestellung weiß ich nicht weiter!
Vielleicht könntet ihr mir einen Tip geben und mir weiter helfen?
Vielen Dank!
Gruß Petra
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Hallo petzimuh,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> "Sei r >0. Berechnen Sie
>
> [mm]\integral_{-r}^{r} \wurzel{r^2 - x^2}[/mm] dx .
>
> Welche geometrische Fragestellung wird durch dieses
> Integral beantwortet?"
Es wird die Frage beantwortet, wie groß die Fläche eines Halbkreises mit dem Radius r ist.
Zur Lösung des Integrals, verwende folgende Substitution:
[mm]\begin{gathered}
x\; = \;r\;\sin \;t \hfill \\
dx\; = \;r\;\cos \;t\;dt \hfill \\ \end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Mo 23.05.2005 | | Autor: | petzimuh |
Vielen Dank für die schnelle Hilfe!
Ich habe diese Formel für die Berechnung eines Viertelkreises (auch Halbkreis) nun zufällig auch in einem Buch gefunden.
Allerdings wird hier vorgeschlagen wie folgt zu substituieren:
x= r*cos t (also mit Gegenkathete durch Hypotenuse!)
Soweit konnte ich alles noch nachvollziehen! 
Muss ich dieses (r*cos t) nun gleich in die Formel einsetzen für "x" und dann weiterrechnen? oder muss ich das "dx" berechnen?
Ich glaube, ich sitze irgendwie total "auf der Leitung"!
Es verwirrt mich, dass das x nun so ersetzt wird.
Könnte mir jemand vielleicht bitte nur einen Rechenansatz zeigen, vielleicht versteh ich es dann besser!
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Cybrina |
Ich koennte dir eventuell bei der Frage helfen:
Die Kreisfunktion ist ja
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
[mm] y^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] - [mm] x^2
[/mm]
y = [mm] \wurzel{r^2 - x^2}
[/mm]
Also ist dein Integral das Integral von der Kreisfunktion (aber nur von der oberen Haelfte, da beim Wurzelziehen keine negativen Werte rauskommen koennen)
Wenn du das von x = -r bis x = r integrierst, bekommst du die Flaeche der Kreishaelfte.
Ich hoff, das hilft.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Mo 23.05.2005 | | Autor: | petzimuh |
Danke,
dass die Fläche des Halbkreises berechnet wird habe ich verstanden!
Ich weiß nur nicht, wie ich das Integral weiter berechne.
Weil das x wird durch (r*cos t) ersetzt, nur weiß ich dann nicht weiter!
Ob ich das gleich einsetzen muss, oder ob ich das "dx" verechnen muss.
Ich steh da irgendwie an!
Danke trotzdem für die gute Erklärung!!!
Gruß Petra
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Hallo petzimuh,
> Ich weiß nur nicht, wie ich das Integral weiter berechne.
> Weil das x wird durch (r*cos t) ersetzt, nur weiß ich dann
> nicht weiter!
das wird dann alles in das Integral eingesetzt:
[mm]\begin{gathered}
\int\limits_{ - r}^r {\sqrt {r^2 \; - x^2 } \;dx} \; = \;\int\limits_{ - {\raise0.7ex\hbox{$\pi $} \!\mathord{\left/
{\vphantom {\pi 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{$2$}}}^{ + {\raise0.7ex\hbox{$\pi $} \!\mathord{\left/
{\vphantom {\pi 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{$2$}}} {\sqrt {r^2 \; - \;r^2 \;\sin ^2 \;t} \;r\;\cos \;t\;dt} \hfill \\
= \;\int\limits_{ - {\raise0.7ex\hbox{$\pi $} \!\mathord{\left/
{\vphantom {\pi 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{$2$}}}^{ + {\raise0.7ex\hbox{$\pi $} \!\mathord{\left/
{\vphantom {\pi 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{$2$}}} {r^2 \;\cos ^2 \;t\;dt} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Den Integranden kannst Du noch mit einem Additionstheorem vereinfachen.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Mo 23.05.2005 | | Autor: | petzimuh |
Danke!!!
Jetzt kenn ich mich aus!!!
Gruß Petra
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