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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Max80 |
Hallo zusammen!
Ich habe jetzt mich ausführlich mit der Integralrechnung beschäftigt.
Dabei frage ich mich, was das dx immer hinten dran bedeutet.
Es wird ja immer damit multipliziert...! Warum muss das dort stehen?
Ich dachte immer bisher das ist einfach nur so dort (also als
Vorschrift), aber ich habe jetzt gesehen, dass das doch eine höhere
Bedeutung hat...! Welche???
Danke!
LG
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Hallo!
Ganz naiv kommt die Integralrechnung doch von der Geschichte mit den Ober- und Untersummen. Da hieß es für eine Fläche doch auch immer etwa so:
[mm] $A=\summe_{i=1}^n f(i*\Delta [/mm] x) [mm] *\Delta [/mm] x$
Das heißt, man addiert die Quaderflächen zusammen, wobei ein Quader die Breite [mm] $\Delta [/mm] x$ hat, und die Höhe von der Funktion kommt.
Bei der Integralrechnung wird aus dem Sigma für Summe dieses geschwungene Zeichen, das auch an ein S erinnern soll, und aus dem [mm] \Delta [/mm] wird einfach ein d. Dieses d besagt gegenüber dem [mm] \Delta [/mm] auch, daß dieses dx unendlich klein sein soll.
[mm] $A=\integral [/mm] f(x) dx$
Außerdem sagt einem das, welches die Integrationsvariable ist.
Beim Ableiten ist es ganz ähnlich. Die Steigung war doch [mm] \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}. [/mm] Während hier das [mm] \Delta [/mm] wieder für endlich kleine "Stückchen" steht, wird daraus beim Übergang zum infinitesimal kleinen wieder ein d. Daher wird die Ableitung auch als [mm] \frac{df(x)}{dx} [/mm] geschrieben.
Das sind aber nur die Basics, diese Schreibweise ist unglaublich mächtig.
Beispiel Substitution: In einem Integral wird z.B. z= 5x² substituiert. Es gilt:
[mm] $\frac{dz}{dx}=10x$
[/mm]
und daraus:
[mm] $dx=\frac{dz}{10x}$
[/mm]
Und genau das wird in das Integral eingesetzt. Aus [mm] $\integral [/mm] <...>dx$ wird [mm] dann$\integral \frac{<...>}{10x}dz$
[/mm]
Man kann damit also erstaunliche Rechnungen machen.
Es gibt noch mehr, aber ich denke, das reicht erstmal, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bunti!
Sieh' mal hier [mm] ($\leftarrow$ [i]click it![/i]), da habe ich das schon mal versucht zu erkären ...
Gruß
Loddar
[/mm]
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