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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 Mi 03.02.2010 | | Autor: | sunny9 |
Hallo.
Es tut mir leid, hier schon wieder eine Frage stellen zu müssen, aber ich komm schon wieder bei einer Stammfunktion nicht weiter, wobei die Lösung wieder gegeben ist.
Erstmal die Aufgabe: [mm] f(x)=\wurzel{1+x^2}, [/mm] wobei die Substitution gegeben ist: [mm] x=\bruch{1}{2}(e^t-e^{-t}).
[/mm]
Die gegebene Substitution finde ich völlig verwirrend. Ich hab jetzt erstmal nach t umgestellt, wobei ich mir da auch sehr unsicher war, wie man das macht, ich hab [mm] \wurzel{ln(2x)}=t [/mm] raus.
Aber auch wenn ich das hab, und auch einsetze, kann ich damit insgesamt nichts weiter anfangen.
f(x)= [mm] \wurzel{1+(\bruch{1}{2}(e^t-e^{-t}))}*\bruch{1}{\bruch{1}{2}(e^t-e^{-t})}
[/mm]
Ich hab überlegt, ob man das irgendwie kürzen kann, aber ich komm einfach nicht weiter. Die richtige Lösung ist: [mm] F(x)=\bruch{1}{2}x*\wurzel{1+x^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*ln(x+\wurzel{1+x^2})
[/mm]
Es wäre ganz toll, wenn sich das nochmal jemand ansehen könnte.
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Hallo sunny!
Ich denke mal, leichter wird die Substitution, wenn man folgende Definition der ![[]](/images/popup.gif) Hyperbelfunktionen verwendet:
[mm] $$\sinh(t) [/mm] \ := \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(e^t-e^{-t}\right)$$
[/mm]
[mm] $$\cosh(t) [/mm] \ := \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(e^t+e^{-t}\right)$$
[/mm]
Zudem gilt:
[mm] $$\left[ \ \sinh(t) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \cosh(t)$$
[/mm]
[mm] $$\left[ \ \cosh(t) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \sinh(t)$$
[/mm]
[mm] $$\cosh^2(t)-\sinh^2(t) [/mm] \ = \ 1$$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:46 Mi 03.02.2010 | | Autor: | sunny9 |
Danke, das ist schon mal ein guter Ansatz, da hab ich gar nicht dran gedacht. Ich kann also für x auch sinh(t) einsetzten. x= sinh(t) hab ich nach t umgestellt und [mm] t=ln(x+\wurzel{1+x^2} [/mm] raus. aber wenn ich das einsetzten will, kommt einfach nichts raus. und das abzuleiten finde ich auch sehr schwer. wie bekomme ich die wurzel denn nur weg? danke schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 Mi 03.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
du solltest die Formel [mm] cosh^{2} [/mm] - [mm] sinh^{2} [/mm] = 1 beachten! Die ganze Aufgabe ist eine art "Trick"
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Mi 03.02.2010 | | Autor: | sunny9 |
aha, ja langsam komm ich weiter.
ich hab jetzt die Formel angewendet und hab [mm] f(x)=\wurzel{1+(sinh(t))^2} [/mm] zu f(x)=cosh(t) umgeformt und weiter zu f(x)= [mm] \bruch{1}{2}e^t [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}e{-t}
[/mm]
Wenn ich das allerdings ableite komme ich auf: [mm] F(x)=\bruch{1}{2}e^{ln(x+\wurzel{1+x^2})}- \bruch{1}{2}e^{-(ln(x+\wurzel{1+x^2})}.
[/mm]
Wenn man das vereinfacht, komm ich auf [mm] F(x)=\bruch{1}{2}(x+\wurzel{1+x^2}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}(x+\wurzel{1+x^2}).
[/mm]
Das sieht ja schonmal der Lösung ähnlicher, nur irgendwas muss ich noch vergessen haben oder falsch gemacht haben.
t= [mm] ln(x+\wurzel{1+x^2}) [/mm] hab ich aber auch nicht abgeleitet bekommen, vielleicht liegt es daran?
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Hallo sunny9,
> aha, ja langsam komm ich weiter.
> ich hab jetzt die Formel angewendet und hab
> [mm]f(x)=\wurzel{1+(sinh(t))^2}[/mm] zu f(x)=cosh(t) umgeformt und
> weiter zu f(x)= [mm]\bruch{1}{2}e^t[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}e{-t}[/mm]
> Wenn ich das allerdings ableite komme ich auf:
> [mm]F(x)=\bruch{1}{2}e^{ln(x+\wurzel{1+x^2})}- \bruch{1}{2}e^{-(ln(x+\wurzel{1+x^2})}.[/mm]
>
> Wenn man das vereinfacht, komm ich auf
> [mm]F(x)=\bruch{1}{2}(x+\wurzel{1+x^2})[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2}(x+\wurzel{1+x^2}).[/mm]
> Das sieht ja schonmal der Lösung ähnlicher, nur
> irgendwas muss ich noch vergessen haben oder falsch gemacht
> haben.
> t= [mm]ln(x+\wurzel{1+x^2})[/mm] hab ich aber auch nicht abgeleitet
> bekommen, vielleicht liegt es daran?
Irgendwie finde ich das, was du schreibst, ziemlich verwirrend.
Es ist ja [mm] $\int{\sqrt{1+x^2} \ dx}$ [/mm] zu berechnen.
Mit der gegebenen Substitution [mm] $x=x(t):=\sinh(t)$ [/mm] und dem oben Gesagten folgt:
[mm] $x'=\frac{dx}{dt}=\cosh(t)$, [/mm] also [mm] $dx=\cosh(t) [/mm] \ dt$
Damit [mm] $\int{\sqrt{1+x^2} \ dx}=\int{\sqrt{1+\sinh^2(t)} \ \cosh(t) \ dt}$
[/mm]
[mm] $=\int{\sqrt{\cosh^2(t)} \ \cosh(t) \ dt}$
[/mm]
[mm] $=\int{\cosh^2(t) \ dt}$
[/mm]
Das kannst du nun entweder über die Definition des [mm] $\cosh$ [/mm] berechnen oder eleganter mit partieller Integration.
Schreibe dazu [mm] $\int{\cosh^2(t) \ dt}=\int{\cosh(t)\cdot{}\cosh(t) \ dt}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Mi 03.02.2010 | | Autor: | sunny9 |
Ich hab das jetzt berechnet, auf beide Arten (also mit der Definition und auch noch mal mit partieller Intergration), komm auch glücklicherweise auf das gleiche, nur schaffe ich den letzten Umrechnungsform bis zur Lösung nicht.
Also ich hab jetzt: $ [mm] F(x)=\bruch{1}{2}((sinh(t)*cosh(t)) [/mm] + $ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}ln(x+\wurzel{1+x^2}) [/mm] $
Wenn ich für cosh(t) und sinh(t) die Definitionen einsetzte und dann [mm] t=ln(ln(x+\wurzel{1+x^2}), [/mm] komm ich einfach nicht auf den zweiten teil der Lösung:$ [mm] F(x)=\bruch{1}{2}x\cdot{}\wurzel{1+x^2} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}ln(x+\wurzel{1+x^2}) [/mm] $.
Also die Hälfte davon hab ich ja schon, aber wie formt man um, um auf den zweiten Teil auch noch zu kommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Mi 03.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Wenn ich für cosh(t) und sinh(t) die Definitionen
> einsetzte und dann [mm]t=ln(ln(x+\wurzel{1+x^2}),[/mm] komm ich
> einfach nicht auf den zweiten teil der Lösung:[mm] F(x)=\bruch{1}{2}x\cdot{}\wurzel{1+x^2}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{2}\cdot{}ln(x+\wurzel{1+x^2}) [/mm].
> Also die
> Hälfte davon hab ich ja schon, aber wie formt man um, um
> auf den zweiten Teil auch noch zu kommen?
Zeig doch mal bitte deine Rechnungen, dann sehen wir, wo das Problem liegt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Mi 03.02.2010 | | Autor: | sunny9 |
ok, also ich hab als Stammfunktion [mm] F(x)=\bruch{1}{2}((cosh(t)*sinh(t)) [/mm] +t))
so jetzt hab ich, um auf die Lösung, die abhängig von x ist [mm] F(x)=\bruch{1}{2}x\cdot{}\wurzel{1+x^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}ln(x+\wurzel{1+x^2}) [/mm] erstmal cosh(t) und sinh(t)
umgeschrieben: [mm] F(x)=\bruch{1}{2}(\bruch{1}{2}(e^t+e^{{-t}})*(\bruch{1}{2}(e^t-e^{{-t}}) [/mm] +t)
und jetzt hab ich [mm] t=ln(x+\wurzel{1+x^2} [/mm] eingesetzt:
[mm] F(x)=\bruch{1}{2}(\bruch{1}{2}(e^{ln(x+\wurzel{1+x^2}}+e^{-(ln(x+\wurzel{1+x^2}}))*(\bruch{1}{2}(e^{ln(x+\wurzel{1+x^2}}-e^{-(ln(x+\wurzel{1+x^2}})) +ln(x+\wurzel{1+x^2}))
[/mm]
Das vereinfacht ergibt bei mir einmal den einen Teil der Lösung und einen anderen:
[mm] F(x)=\bruch{1}{2}(\bruch{1}{2}(x+\wurzel{1+x^2}-(x+\wurzel{1+x^2})*(\bruch{1}{2}(x+\wurzel{1+x^2}+(x+\wurzel{1+x^2})) +\bruch{1}{2}ln(x+\wurzel{1+x^2})
[/mm]
Zu sehen ist jetzt, dass der Teil [mm] +\bruch{1}{2}ln(x+\wurzel{1+x^2})schon [/mm] mit der Lösung übereinstimmt, aber den Teil [mm] \bruch{1}{2}(\bruch{1}{2}(x+\wurzel{1+x^2}-(x+\wurzel{1+x^2})*(\bruch{1}{2}(x+\wurzel{1+x^2}+(x+\wurzel{1+x^2})) [/mm] bekomm ich nicht in den Teil: [mm] \bruch{1}{2}x\cdot{}\wurzel{1+x^2} [/mm] umgewandelt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Mi 03.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Meinst du:
[mm] \bruch{1}{2}\left[\bruch{1}{2}\left(\left(x+\wurzel{1+x^2}\right)-\left(x+\wurzel{1+x^2}\right)\right)\red{\cdot{}}\left(\bruch{1}{2}\left(\left(x+\wurzel{1+x^2}\right)+\left(x+\wurzel{1+x^2}\right)\right)\right)\right]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\left[\bruch{1}{2}\left(x+\wurzel{1+x^2}-x-\wurzel{1+x^2}\right)\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\left(x+\wurzel{1+x^2}+x+\wurzel{1+x^2}\right)\right)\right]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\left[\bruch{1}{2}\left(0\right)\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\left(2x+2\wurzel{1+x^2}\right)\right)\right]
[/mm]
=0
Oder meinst du:
[mm] \bruch{1}{2}\left[\bruch{1}{2}\left(\left(x+\wurzel{1+x^2}\right)-\left(x+\wurzel{1+x^2}\right)\right)\red{+}\left(\bruch{1}{2}\left(\left(x+\wurzel{1+x^2}\right)+\left(x+\wurzel{1+x^2}\right)\right)\right)\right]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\left[\bruch{1}{2}\left(x+\wurzel{1+x^2}-x-\wurzel{1+x^2}\right)+\left(\bruch{1}{2}\left(x+\wurzel{1+x^2}+x+\wurzel{1+x^2}\right)\right)\right]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\left[\bruch{1}{2}\left(0\right)+\left(\bruch{1}{2}\left(2x+2\wurzel{1+x^2}\right)\right)\right]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\left[\left(\bruch{1}{2}\left(2x+2\wurzel{1+x^2}\right)\right)\right]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\left[x+\wurzel{1+x^2}\right]
[/mm]
Da wäre dann keine höhere Mathematik im Spiel, nur simples Ausmultiplizieren
Marius
Marius
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