Stammfunktion einer e-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 So 05.03.2006 | | Autor: | milox |
| Aufgabe | | Geben Sie eine Stammfunktion F zu f an. |
Die Funktion , zu der ich eine Stammfunktion bilden soll, lautet : [mm] f(x)=1-e^{2-x} [/mm].
Ich weiss, dass [mm] e^{2-x} [/mm] aufgeleitet [mm] e^{2-x} [/mm] bleibt. Das ist mein einziger Ansatz...ich kriege das einfach nicht hin was mit der 1 passiert.
Es ist bestimmt leicht aber momentan habe ich ein Brett vorm Kopf :-(
Danke im voraus.
Gruß Artur
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 So 05.03.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo. ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Geben Sie eine Stammfunktion F zu f an.
> Die Funktion , zu der ich eine Stammfunktion bilden soll,
> lautet : [mm]f(x)=1-e^{2-x} [/mm].
>
> Ich weiss, dass [mm]e^{2-x}[/mm] aufgeleitet [mm]e^{2-x}[/mm] bleibt. Das ist
Nicht ganz! Du hast das negative Vorzeichen (vom x) im Exponenten übersehen. So ist [mm] e^{-x} [/mm] abgelitten [mm] -e^{-x}.
[/mm]
In unserem Beispiel ist [mm] e^{2-x} [/mm] aufgelitten (integriert) [mm] -e^{2-x}
[/mm]
> mein einziger Ansatz...ich kriege das einfach nicht hin was
> mit der 1 passiert.
> Es ist bestimmt leicht aber momentan habe ich ein Brett
> vorm Kopf :-(^
Richtig, daher die umgekehrte Logik. Was ergibt sich, wenn man g(x) = x ableitet?
Dann musst du nur noch umgekehrt denken und du weißt, was 1 (als Konstante) integriert ergibt.
>
> Danke im voraus.
Hilft dir das?
>
> Gruß Artur
Viele Grüße
Disap
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 So 05.03.2006 | | Autor: | milox |
Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann muss die Stammfunktion zu [mm] f(x)=1-e^{2-x} [/mm] lauten : [mm] F(x)=1+e^{2-x}[/mm] oder nicht?
Ist das den eine Gesetzmäßigkeit, dass [mm] e^{-x} [/mm] integriert [mm] -e^{-x} [/mm] ergibt? Gilt es also immer, wenn im Exponenten ein - vor der Variable x steht und dieser Exponent einer e - Funktion ist?
Wenn [mm] e^{x} [/mm] abgeleitet [mm] e^{x} [/mm] ergibt, dann dachte ich auch, dass es für die Aufleitung gilt.
[mm] f(x)=1-e^{2-x} [/mm] ist aber abgeleitet [mm] f'(x)=e^{2-x} [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 So 05.03.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo nochmals.
> Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann muss
> die Stammfunktion zu [mm]f(x)=1-e^{2-x}[/mm] lauten : [mm]F(x)=1+e^{2-x}[/mm]
> oder nicht?
Naja, fast.
> Ist das den eine Gesetzmäßigkeit, dass [mm]e^{-x}[/mm] integriert
> [mm]-e^{-x}[/mm] ergibt? Gilt es also immer, wenn im Exponenten ein
> - vor der Variable x steht und dieser Exponent einer e -
> Funktion ist?
>
> Wenn [mm]e^{x}[/mm] abgeleitet [mm]e^{x}[/mm] ergibt, dann dachte ich auch,
> dass es für die Aufleitung gilt.
>
> [mm]f(x)=1-e^{2-x}[/mm] ist aber abgeleitet [mm]f'(x)=e^{2-x}[/mm] oder?
>
Genau!
Daher muss die Funktion auch [mm] F(x)=1x+e^{2-x} [/mm] heissen
F'(x) = 1- [mm] e^{2-x}
[/mm]
mfG!
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 So 05.03.2006 | | Autor: | milox |
Danke sehr für deine Hilfe! Habe übrigens am Anfang meiner Antwort das "x" bei der Stammfunktion vergessen 
Wo wir gerade beim integrieren & und ableiten sind:
Ich habe kein Plan wie ich diese Funktion [mm] f(x)= -3 \* 1,5^{-x} [/mm] ableiten soll. Auch hier bin ich mir sicher, dass -3 erhalten bleibt, weil es nur ein Vorfaktor ist, deshalb muss ich mich nur auf [mm] 1,5^{-x} [/mm] konzentrieren. Hier wird doch die Kettenregel benötigt oder?
[mm] (...)^{-x}[/mm] ist meine innere Funktion und [mm] 1,5 [/mm] meine äußere Funktion . Nach der Kettenregel muss ich "innere" mal " äußere" rechnen.
Müsste also dann lauten: [mm] f'(x)= -3 \* \underbrace{(-1}_{= innere Ableitung } \* \underbrace{0}_{= äußere Ableitung} [/mm]
Das kann aber nicht sein und ich sehe meinen Fehler nicht.
Und ans aufleiten denke ich gar nicht. Wenn ich es schon nicht schaffe abzuleiten, dann ableiten erst recht nicht, weil ableiten mir eigentlich leichter fällt als aufleiten.
mfg
Artur
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Hallo!
> Wo wir gerade beim integrieren & und ableiten sind:
Neue Fragen aber in Zukunft bitte extra stellen!
> Ich habe kein Plan wie ich diese Funktion [mm]f(x)= -3 \* 1,5^{-x}[/mm]
> ableiten soll. Auch hier bin ich mir sicher, dass -3
> erhalten bleibt, weil es nur ein Vorfaktor ist, deshalb
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> muss ich mich nur auf [mm]1,5^{-x}[/mm] konzentrieren. Hier wird
> doch die Kettenregel benötigt oder?
>
> [mm](...)^{-x}[/mm] ist meine innere Funktion und [mm]1,5[/mm] meine äußere
> Funktion . Nach der Kettenregel muss ich "innere" mal "
> äußere" rechnen.
>
> Müsste also dann lauten: [mm]f'(x)= -3 \* \underbrace{(-1}_{= innere Ableitung } \* \underbrace{0}_{= äußere Ableitung} [/mm]
>
> Das kann aber nicht sein und ich sehe meinen Fehler nicht.
Bei solchen Exponentialfunktionen verhält es sich folgendermaßen:
für [mm] f(x)=a^x [/mm] ist [mm] f'(x)=a^x*\ln{a}
[/mm]
Dass dieses gilt, kannst du ganz einfach mit der  Kettenregel nachrechnen, wenn du beachtest, dass [mm] a^x=e^{x\ln{a}} [/mm] gilt.
Bei deiner Funktion würde ich jetzt spontan folgendes machen:
(also nehmen wir nur mal [mm] 1,5^{-x}, [/mm] denn die -3 davor bleibt ja einfach stehen)
[mm] 1,5^{-x}=\left(\bruch{3}{2}\right)^{-x}=\left(\bruch{2}{3}\right)^x [/mm] und nun kannst du das mit obiger Regel einfach ableiten
> Und ans aufleiten denke ich gar nicht. Wenn ich es schon
> nicht schaffe abzuleiten, dann ableiten erst recht nicht,
> weil ableiten mir eigentlich leichter fällt als aufleiten.
Also dieses Wort "aufleiten" ist unter Mathematikern eher ungebräuchlich und unter Mathelehrern teilweise sehr verhasst. Komisch, dass es doch immer wieder von Schülern benutzt wird. Aber das Integrieren ist schon was ganz anderes als das Ableiten, aber es muss nicht unbedingt immer sein, dass es schwieriger ist.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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