Stammfunktion eines Grad.Feld < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 So 05.02.2012 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Auf [mm] \IR^{2} [/mm] sei das folgende Vektorfeld gegeben:
$ v: [mm] \IR^{2} [/mm] -> [mm] \IR^{2}, \vektor{x\\y} [/mm] -> [mm] \vektor{2e^{-4y}+cos(x)y^{2} \\ -8xe^{-4y}+2sin(x)y} [/mm] $
Berechnen Sie die Stammfunktion. |
Die zwei Teile der Stammfunktion habe ich berechnet.
[mm] V_{x} [/mm] = [mm] \int 2e^{-4y}+cos(x)y^{2}dx [/mm] = [mm] 2xe^{-4y} [/mm] + [mm] sin(x)y^{2}+C_{x}
[/mm]
[mm] V_{y} [/mm] = [mm] \int -8xe^{-4y}+2sin(x)y [/mm] dy = [mm] 2xe^{-4y} +sin(x)y^{2}+ C_{y}
[/mm]
In der Musterlösung stimmt alles bis auf die Konstanten nicht.
Man hat dort anstatt [mm] C_{x} [/mm] ein c(y) stehen.
Und anstatt [mm] C_{y} [/mm] hat man dort c'(y).
Dann sagt man in der Musterlösung:
=> c'(y)=0
=> c(y) = 0
Wie kommt man auf die Konstanten?
Wie sieht dann die endgültige Stammfunktion aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 So 05.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Konstante in [mm] V_x [/mm] ist ja nur für x Konstant, sie hängt also noch von y ab. was du [mm] C_x [/mm] nennst ist also eine Funktion von y C(y)
schlecht ist es auch, dass du [mm] V_x [/mm] schreibst, als ob das eine Komponente von x wäre. es ist einfach V(x,y)
allerdings muss dann [mm] \bruch{\partial V}{\partial y}=F_y
[/mm]
erfüllen, wenn [mm] \vec{F} [/mm] dein Vektorfeld ist. du musst also dein V das du aus der Integration nach x erhalten hast nach y differenzieren und dann C'(y) aus [mm] \bruch{\partial V}{\partial y}=F_y [/mm] bestimmen (falls das Vektorfeld Gradient eines Potentials ist).
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 So 05.02.2012 | | Autor: | zoj |
> Hallo
> die Konstante in [mm]V_x[/mm] ist ja nur für x Konstant, sie
> hängt also noch von y ab. was du [mm]C_x[/mm] nennst ist also eine
> Funktion von y C(y)
> schlecht ist es auch, dass du [mm]V_x[/mm] schreibst, als ob das
> eine Komponente von x wäre. es ist einfach V(x,y)
Habs berichtigt:
$ [mm] V_{x,y} [/mm] $ = $ [mm] \int 2e^{-4y}+cos(x)y^{2}dx [/mm] $ = $ [mm] 2xe^{-4y} [/mm] $ + $ [mm] sin(x)y^{2}+c(y) [/mm] $
$ [mm] V_{x,y} [/mm] $ = $ [mm] \int -8xe^{-4y}+2sin(x)y [/mm] $ dy = $ [mm] 2xe^{-4y} +sin(x)y^{2}+ [/mm] c(x) $
Ist es richtig, dass die Konstante des Y-Teils noch von x abhängt (c(x))?
> allerdings muss dann [mm]\bruch{\partial V}{\partial y}=F_y[/mm]
>
> erfüllen, wenn [mm]\vec{F}[/mm] dein Vektorfeld ist. du musst also
> dein V das du aus der Integration nach x erhalten hast
> nach y differenzieren und dann C'(y) aus [mm]\bruch{\partial V}{\partial y}=F_y[/mm]
> bestimmen (falls das Vektorfeld Gradient eines Potentials
> ist).
Ja, das ist ein Gradientenfeld, habs nicht erwähnt.
Mein V nach der Integration von x lautet: V(x,y) = $ [mm] 2xe^{-4y} [/mm] $ + $ [mm] sin(x)y^{2}+c(y) [/mm] $
[mm] $\bruch{dV(x,y)}{dy} [/mm] = [mm] -8xe^{-4y}+ [/mm] 2sin(x)y + c'(y)$
Jetzt muss ich noch c'(y) aus $ [mm] \bruch{\partial V}{\partial y}=F_y [/mm] $
bestimmen:
Das $ [mm] \bruch{\partial V}{\partial y}=F_y [/mm] $ lautet bei mir:
$ [mm] 2xe^{-4y} +sin(x)y^{2}+ [/mm] c(x) $
Jetzt weiß ich nicht weiter. Was soll ich jetzt machen?
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Hallo zoj,
> > Hallo
> > die Konstante in [mm]V_x[/mm] ist ja nur für x Konstant, sie
> > hängt also noch von y ab. was du [mm]C_x[/mm] nennst ist also eine
> > Funktion von y C(y)
> > schlecht ist es auch, dass du [mm]V_x[/mm] schreibst, als ob das
> > eine Komponente von x wäre. es ist einfach V(x,y)
>
> Habs berichtigt:
> [mm]V_{x,y}[/mm] = [mm]\int 2e^{-4y}+cos(x)y^{2}dx[/mm] = [mm]2xe^{-4y}[/mm] +
> [mm]sin(x)y^{2}+c(y)[/mm]
> [mm]V_{x,y}[/mm] = [mm]\int -8xe^{-4y}+2sin(x)y[/mm] dy = [mm]2xe^{-4y} +sin(x)y^{2}+ c(x)[/mm]
>
Schreibe hier lieber:
[mm]V_{x,y} = \int 2e^{-4y}+cos(x)y^{2}dx = 2xe^{-4y} + sin(x)y^{2}+c_{1}(y)[/mm]
[mm]V_{x,y} = \int -8xe^{-4y}+2sin(x)y dy = 2xe^{-4y} +sin(x)y^{2}+ c_{2}(x)[/mm]
> Ist es richtig, dass die Konstante des Y-Teils noch von x
> abhängt (c(x))?
>
Wenn Du nach y integrierst hast Du eine Integrations c, die von x abhängt.
>
> > allerdings muss dann [mm]\bruch{\partial V}{\partial y}=F_y[/mm]
>
> >
> > erfüllen, wenn [mm]\vec{F}[/mm] dein Vektorfeld ist. du musst also
> > dein V das du aus der Integration nach x erhalten hast
> > nach y differenzieren und dann C'(y) aus [mm]\bruch{\partial V}{\partial y}=F_y[/mm]
> > bestimmen (falls das Vektorfeld Gradient eines Potentials
> > ist).
> Ja, das ist ein Gradientenfeld, habs nicht erwähnt.
>
> Mein V nach der Integration von x lautet: V(x,y) =
> [mm]2xe^{-4y}[/mm] + [mm]sin(x)y^{2}+c(y)[/mm]
> [mm]\bruch{dV(x,y)}{dy} = -8xe^{-4y}+ 2sin(x)y + c'(y)[/mm]
>
> Jetzt muss ich noch c'(y) aus [mm]\bruch{\partial V}{\partial y}=F_y[/mm]
>
> bestimmen:
>
> Das [mm]\bruch{\partial V}{\partial y}=F_y[/mm] lautet bei mir:
>
> [mm]2xe^{-4y} +sin(x)y^{2}+ c(x)[/mm]
>
Differenzierst Du dies nach x und vergleicht Du das mit [mm] F_{x},
[/mm]
dann erhältst Du
[mm]c'\left(x\right)=0[/mm]
,woraus folgt, daß c eine reelle Konstante sein muss.
Damit bist Du dann fertig.
> Jetzt weiß ich nicht weiter. Was soll ich jetzt machen?
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 So 05.02.2012 | | Autor: | zoj |
Alles klar! Danke!
Noch eine Frage:
"Besitzt v auch eine Stammfunktion auf dem nicht einfach zusammenhängenden Gebiet [mm] \IR^{2} \{(a,2a)|0
So wie ich es verstanden habe, ist ein nicht einfach zusammenhängender Gebiet Mengen, die nicht stetig mit einander verbunden sind.
http://de.wikipedia.org/wiki/Zusammenh%C3%A4ngender_Raum
Aber wie soll ich jetzt überprüfen, ob v auf dem Gebiet eine Stammfunktion hat?
Kann ich das so machen?
(a,2a) in v einsetzen und prüfen, ob das was rauskommt ein Gradientenfeld ist. Wenn ja, dann gibt es auch eine Stammfunktion.
$ v: [mm] \IR^{2} [/mm] -> [mm] \IR^{2}, \vektor{a\\2a} [/mm] -> [mm] \vektor{2e^{-4(2a)}+cos(a)(2a)^{2} \\ -8ae^{-4(2a)}+2sin(a)2a} [/mm] $
Geht das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Mo 06.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Alles klar! Danke!
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> Noch eine Frage:
> "Besitzt v auch eine Stammfunktion auf dem nicht einfach
> zusammenhängenden Gebiet [mm]\IR^{2} \{(a,2a)|0
>
> So wie ich es verstanden habe, ist ein nicht einfach
> zusammenhängender Gebiet Mengen, die nicht stetig mit
> einander verbunden sind.
.... und was soll das denn bedeuten ??? Lies nochmal nach !
> http://de.wikipedia.org/wiki/Zusammenh%C3%A4ngender_Raum
>
> Aber wie soll ich jetzt überprüfen, ob v auf dem Gebiet
> eine Stammfunktion hat?
> Kann ich das so machen?
> (a,2a) in v einsetzen und prüfen, ob das was rauskommt
> ein Gradientenfeld ist.
Das ist doch völliger Unsinn !!
> Wenn ja, dann gibt es auch eine
> Stammfunktion.
>
> [mm]v: \IR^{2} -> \IR^{2}, \vektor{a\\2a} -> \vektor{2e^{-4(2a)}+cos(a)(2a)^{2} \\ -8ae^{-4(2a)}+2sin(a)2a}[/mm]
>
> Geht das so?
Nein.
Du hattest oben: v besitzt auf [mm] \IR^2 [/mm] die Stammfunktion V, d.h.: grad(V)= V'=v auf [mm] \IR^2.
[/mm]
Ist nun G ein Gebiet im [mm] \IR^2, [/mm] so gilt doch selbstverständlich:
grad(V)= V'=v auf G.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:09 Mo 06.02.2012 | | Autor: | zoj |
> Du hattest oben: v besitzt auf [mm]\IR^2[/mm] die Stammfunktion V,
> d.h.: grad(V)= V'=v auf [mm]\IR^2.[/mm]
>
> Ist nun G ein Gebiet im [mm]\IR^2,[/mm] so gilt doch
> selbstverständlich:
>
> grad(V)= V'=v auf G.
>
> FRED
> >
Achso, weil G im Gebiet [mm] \IR^{2} [/mm] ist, auf dem wir die Stammfunktion berechnet haben, gibt es dann auch eine Stammfunktion.
Aber wozu dann die Angabe: [mm] $\IR^{2} [/mm] ohne [mm] \{(a,2a)|0
Offenbar hat die Angabe keine Auswirkung.
Das hat doch was mit dm nicht einfach zusammenhängenden Gebiet zu tun. Oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mi 08.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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