Stammfunktion eines Integrals < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Mo 18.06.2012 | | Autor: | volk |
Hallo,
ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Es scheitert daran, dass ich keine Stammfunktion finden kann.
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-{\beta}\wurzel{(mc^2)^2+(pc)^2}} dp}
[/mm]
Hier würde ich als erstes versuchen, etwas wie [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-{\alpha}p^2} dp} [/mm] zu erhalten, da die Lösung ja bekannt ist. Das wird aber nichs.
Ich weiß wirklich nicht, wie ich da ansetzen soll.
Vielleicht hat jemand einen Tip für mich
Viele Grüße,
volk
|
|
| |
|
Hiho,
> ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Es scheitert
> daran, dass ich keine Stammfunktion finden kann.
das wirst du auch nicht schaffen, da sich dieses Integral nicht analytisch lösen lässt.
In welchem Zusammenhang taucht das Integral denn auf?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Mo 18.06.2012 | | Autor: | volk |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort. Dieses Integral soll eine Konstante ergeben. Das im Exponenten ist die relativistische Dispersion E(p).
Werde noch einen weiteren Weg probieren.
MfG volk
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Mo 18.06.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo,
>
> vielen Dank für deine Antwort. Dieses Integral soll eine
> Konstante ergeben. Das im Exponenten ist die
ja, es ergibt auch eine Konstante.
> relativistische Dispersion E(p).
> Werde noch einen weiteren Weg probieren.
Du kannst noch zig Wege probieren, es gibt keine geschlossene Stammfunktion (sagt Mathematica).
>
> MfG volk
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:27 Di 19.06.2012 | | Autor: | volk |
Hallo,
ich möchte die Maxwell-Verteilung für die rel. Energiedispersion herleiten.
> > Werde noch einen weiteren Weg probieren.
>
> Du kannst noch zig Wege probieren, es gibt keine
> geschlossene Stammfunktion (sagt Mathematica).
>
Damit meinte ich nur, dass ich meinen Ansatz ändern werde, um vielleicht auf ein anderes Integral zu kommen.
Die Energiedispersion ist ja [mm] E(p)=\summe_{i=1}^{n}(\wurzel{(mc^2)^2+(p_{i}c)^2}-mc^2) [/mm] , wobei [mm] p_{i}=\{p_{x} , p_{y} , p_{z}\}
[/mm]
Der Hamiltonoperator lautet: [mm] H(\vec{r},\vec{p})=\summe_{i=1}^{n}(\wurzel{(mc^2)^2+(\vec{p}_{i}c)^2}-mc^2)+V(\vec{r})=\summe_{i=1}^{n}mc^2(\wurzel{1+(\bruch{\vec{p}_{i}}{mc})^2}-1)+V(\vec{r})
[/mm]
Jetzt gilt: [mm] P(\vec{r},\vec{p})=C_{1}*P(\vec{r})*P(\vec{p}) [/mm] weil ich im Exponenten eine Summe habe und nach den einzelnen Variablen separieren kann.
Ich interessiere mich jetzt ersteinmal nur für [mm] f_{N}(p). [/mm] Dazu schreibe ich [mm] P_{p}(\vec{p}) [/mm] hin.
[mm] P_{p}(\vec{p})=Ce^{-{\beta}\summe_{i=1}^{n}mc^2(\wurzel{1+(\bruch{\vec{p}_{i}}{mc})^2}-1)}=Ce^{-{\beta}\summe_{i=1}^{n}mc^2(\wurzel{1+(\bruch{p_{x}}{mc})^2+(\bruch{p_{y}}{mc})^2+(\bruch{p_{z}}{mc})^2}-1)} [/mm] mit [mm] \beta=\bruch{1}{k_{B}T}
[/mm]
Jetzt gilt ja für die Berechnung der Normierungskonstanten [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{P_{p}(p) d^{3N}p}=1
[/mm]
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{Ce^{-{\beta}\summe_{i=1}^{n}mc^2(\wurzel{1+(\bruch{p_{x}}{mc})^2+(\bruch{p_{y}}{mc})^2+(\bruch{p_{z}}{mc})^2}-1)} d^{N}p}=1 [/mm] , wobei sich die i's der Summe auf dei Impulse beziehen.
Hier hänge ich jetzt fest. Die Summe kann ich ja noch ausrechnen, so dass ich ein Produkt der einzelnen Integrale bekomme. Aber die Lösung der einzelnen Integrale kriege ich nicht hin.
Ist denn vielleicht der bisherige Rechenweg falsch?
Bin für jeden Tip dankbar.
Viele Grüße
volk
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 22.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 Sa 23.06.2012 | | Autor: | volk |
Hallo,
falls es jemanden interessiert.
Man löst das ganze (Übergang zu Kugelkoordinaten), in dem man für [mm] \bruch{\vec{p}_{i}}{mc} [/mm] sinh(x) substituiert ubd die Wurzel aus [mm] 1+sinh(x)^2 [/mm] ist dann cosh(x) und so weiter.
> Der Hamiltonoperator lautet:
> [mm]H(\vec{r},\vec{p})=\summe_{i=1}^{n}mc^2(\wurzel{1+(\bruch{\vec{p}_{i}}{mc})^2}-1)+V(\vec{r})[/mm]
>
volk
|
|
|
|
