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| Aufgabe | Berechnen sie das Integral:
[mm] \integral_{a}^{b}{ \wurzel{1-x^2-y^2} dx}
[/mm]
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Wie kann ich das denn schriftlich lösen?
Oder muss man das wissen?
Danke für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo DER-Helmut,
> Berechnen sie das Integral:
> [mm]\integral_{a}^{b}{ \wurzel{1-x^2-y^2} dx}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Wie kann ich das denn schriftlich lösen?
> Oder muss man das wissen?
Nein, definitiv nicht 
Das ist einiges an Frickelei:
Erstmal umformen:
$\integral_{a}^{b}{ \wurzel{1-x^2-y^2} dx}=\integral_{a}^{b}{ \wurzel{(1-y^2)-x^2} dx}=\integral_{a}^{b}{ \wurzel{(1-y^2)\cdot{}\left[1-\left(\frac{x}{\sqrt{1-y^2}}\right)^2\right]} dx}$
$=\sqrt{1-y^2}\cdot{}\integral_{a}^{b}{ \sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt{1-y^2}}\right)^2} dx}$
Nun weiter mit der Substitution $x:=\sqrt{1-y^2}\cdot{}\sin(u)$
Oder falls dir das in einem Schritt zu schnell geht, substituiere zunächst:
$t:=\frac{x}{\sqrt{1-y^2}$
Damit bringst du den Wurzelausdruck in die Form $\sqrt{1-t^2}$. Den Rest drum herum musst du dazu berechnen ...
Dort dann $t:=\sin(u)$ substituieren ...
Dann erwartet dich ein Integral der Art $\int{\cos^2(u) \ du}$, das du mit partieller Integration verarzten kannst.
Alles in allem kein besonders schönes Integral ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Das ist nur, um die armen Studis zu ärgern ...
> Danke für eure Hilfe!
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
LG
schachuzipus
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