Stammfunktion finden < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Finden Sie eine Stammfunktion von [mm] g(x)=\bruch{1}{x^4+4} [/mm] |
So, ich habe Probleme damit, weil ich nicht weiß, wie ich eine Stammfunktion finde. Normalerweise würde ich jetzt Partialbruchzerlegung machen, aber es gibt keine reellen Nullstellen des Nenners.
Partieller Integration geht hier nicht und eine geeignete Substitution seh ich auch nicht.Ich weiß noch, dass arctan(x) abgeleitet [mm] \bruch{1}{1+x^2}, [/mm] aber weiß nicht, wo und wie ich den einsetzen soll.
Ich hab im Internet mal geschaut und dort stand, dass man auch mit imaginären Lösungen rechnen kann.
Also die Nullstellen sind ja z1=1+i z2=1-i z3=-1+i z4=-1-i und jetzt könnte ich ja Partialbruchzerlegung machen.
Die Frage:Bringt das was und gibt es einen anderen Weg?
Vielen lieben Dank für jede Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
PS:Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:00 So 21.03.2010 | | Autor: | ONeill |
Hi!
Sieht auf den ersten Blick gar nicht so kompliziert aus. Habs daher mal integrieren lassen und es ist leider doch recht kompliziert:
[mm] $-\frac{1}{16}log(x^2-2x+2)+\frac{1}{16}log(x^2+2x+2)-\frac{1}{8}tan^{-1}(1-x)+\frac{1}{8}tan^{-1}(x+1)$
[/mm]
Das übersteigt definitiv meine Kenntnisse aber vielleicht hilft es Dir weiter.
Gruß Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 So 21.03.2010 | | Autor: | abakus |
> Finden Sie eine Stammfunktion von [mm]g(x)=\bruch{1}{x^4+4}[/mm]
> So, ich habe Probleme damit, weil ich nicht weiß, wie ich
> eine Stammfunktion finde. Normalerweise würde ich jetzt
> Partialbruchzerlegung machen, aber es gibt keine reellen
> Nullstellen des Nenners.
Hallo,
es ist aber eine Zerlegung des Nenners in [mm] (x^2+2x+2)(x^2-2x+2) [/mm] möglich.
Gruß Abakus
> Partieller Integration geht hier nicht und eine geeignete
> Substitution seh ich auch nicht.Ich weiß noch, dass
> arctan(x) abgeleitet [mm]\bruch{1}{1+x^2},[/mm] aber weiß nicht, wo
> und wie ich den einsetzen soll.
> Ich hab im Internet mal geschaut und dort stand, dass man
> auch mit imaginären Lösungen rechnen kann.
> Also die Nullstellen sind ja z1=1+i z2=1-i z3=-1+i z4=-1-i
> und jetzt könnte ich ja Partialbruchzerlegung machen.
>
> Die Frage:Bringt das was und gibt es einen anderen Weg?
>
> Vielen lieben Dank für jede Hilfe
> Gruß
> TheBozz-mismo
> PS:Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Super, da wär ich in 100 Jahren nicht drauf gekommen.
So, aber irgendwie seh ich nicht grad, wie mir das hilft: Ich mein, Partialbruchzerlegung kann ich damit nicht machen, also was jetzt? Ich seh nicht, was ich jetzt machen muss. Vielleicht einen Term substituieren oder irgendwie Log anwenden...
Würde mich über Hilfe sehr freuen...
TheBozz-mismo
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Hey, das hast du dir aber nen ganz schönen bugger rausgesucht..
> Super, da wär ich in 100 Jahren nicht drauf gekommen.
> So, aber irgendwie seh ich nicht grad, wie mir das hilft:
> Ich mein, Partialbruchzerlegung kann ich damit nicht
> machen, also was jetzt? Ich seh nicht, was ich jetzt machen
> muss. Vielleicht einen Term substituieren oder irgendwie
> Log anwenden...
Im Moment hast du ein Produkt. Jetzt musst du also die Zähler-Terme noch anpassen, über einen Koeffizientenvergleich. Weil du ja als ersten Schritt eine Partialbruchzerlegung gemacht hast.
Dann bekommst du [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2-x}{8*(x^2-2x+2)}+\bruch{2+x}{(x^2+2x+2)} dx}
[/mm]
Dann kannst du [mm] \bruch{2-x}{8*(x^2-2x+2)} [/mm] umschreiben zu
[mm] \bruch{1}{8}*\bruch{1}{(x^2-2x+2)}-\bruch{1}{8}*\bruch{2x-2}{2*(x^2-2x+2)}
[/mm]
Jetzt Smmand für Summand integrieren mit 1.) Substitution und 2.) quadratischer Ergänzung --> Arcustangens.
> Würde mich über Hilfe sehr freuen...
> TheBozz-mismo
Lg
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Erstmal vielen Dank für deine Hilfe. Die Aufgabe hat es ja echt in sich; was da alles drinsteckt.
So, ich habe mal deinen Rat befolgt und versucht, die einzelnen Summanten zu integrieren.
$ \integral_{}^{}$ \bruch{1}{8}\cdot{}\bruch{1}{(x^2-2x+2)}-\bruch{1}{8}\cdot{}\bruch{2x-2}{2\cdot{}(x^2-2x+2)} $+\bruch{2+x}{(x^2+2x+2)} dx} $
\integral_{}^{}$ \bruch{1}{8}\cdot{}\bruch{1}{(x^2-2x+2)}dx} $=\bruch{1}{8}arctan(x-1)
\integral_{}^{}$-\bruch{1}{8}\cdot{}\bruch{2x-2}{2\cdot{}(x^2-2x+2)}dx} $=\bruch{-ln(|x^2-2x+2|)}{16}
\integral_{}^{}$\bruch{2+x}{(x^2+2x+2)} dx} $=ln(|x^2+2x+2|)
So, und das müsste ja eigentlich das alle drei addiert eine Stammfunktion sein, aber irgendwie sieht das noch nicht ganz richtig aus.
Sieht einer mein Fehler? Also meine Stammfunktionen hab ich mit Substitution und quadr. Ergänzung(arctan) gemacht, wenn die Stammfunktionen der Terme falsch sind, dann kann ich auch die Rechnungen dazu posten.
Ich bitte um Hilfe
Vielen Dank
TheBozz-mismo
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Hi
> Erstmal vielen Dank für deine Hilfe. Die Aufgabe hat es ja
> echt in sich; was da alles drinsteckt.
> So, ich habe mal deinen Rat befolgt und versucht, die
> einzelnen Summanten zu integrieren.
> [mm]\integral_{}^{}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{8}\cdot{}\bruch{1}{(x^2-2x+2)}-\bruch{1}{8}\cdot{}\bruch{2x-2}{2\cdot{}(x^2-2x+2)}[/mm]
> [mm]+\bruch{2+x}{(x^2+2x+2)} dx}[/mm]
> [mm]\integral_{}^{}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{8}\cdot{}\bruch{1}{(x^2-2x+2)}dx}[/mm][mm] =\bruch{1}{8}arctan(x-1)[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}[/mm]
> [mm]-\bruch{1}{8}\cdot{}\bruch{2x-2}{2\cdot{}(x^2-2x+2)}dx}[/mm][mm] =\bruch{-ln(|x^2-2x+2|)}{16}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}[/mm] [mm]\bruch{2+x}{(x^2+2x+2)} dx}[/mm][mm] =ln(|x^2+2x+2|)[/mm]
Und hier liegt dein Fehler. Du solltest an dieser Stelle wieder clever umschreiben:
[mm] \bruch{2+x}{(x^2+2x+2)}=\bruch{1}{(x^2+2x+2)}+\bruch{2+2x}{2*(x^2+2x+2)}
[/mm]
Dann kriegst du auch dein ergebnis :)
> So, und das müsste ja eigentlich das alle drei addiert
> eine Stammfunktion sein, aber irgendwie sieht das noch
> nicht ganz richtig aus.
>
> Sieht einer mein Fehler? Also meine Stammfunktionen hab ich
> mit Substitution und quadr. Ergänzung(arctan) gemacht,
> wenn die Stammfunktionen der Terme falsch sind, dann kann
> ich auch die Rechnungen dazu posten.
>
> Ich bitte um Hilfe
>
> Vielen Dank
> TheBozz-mismo
Lg
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Vielen lieben Dank, jetzt kommt man auch auf das Ergebnis, aber ich habe noch eine Frage:
Du sagtest: "Das ist der Fehler", also ist das,was ich ausgerechnet hatte, falsch? Eigentlich ja nicht, weil ich die Stammfunktion von dem Term ja richtig ausgerechnet habe, oder? Demnach kann es doch nicht falsch sein, nur weil man den Term nicht in zwei Teile umgeschrieben hat?
Es wäre nett, wenn du mir noch diese Frage beantworten könntest
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Mo 22.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Stammfkt war falsch. leit sie ab, dann siehst du, dass dann im Zähler 2x+2 steht und nicht 2+x
Gruss leduart
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Verdammt, stimmt ja, danke für die Hilfe. Immer dieses kleinen Fehler.Hab ich total übersehen oder mir das x dazugedacht...
Gruß
TheBozz-mismo
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So, habe noch eine letze Frage: Ich glaube, bei deiner Partialbruchzerlegung hast du eine Zahl vergessen, eine 8 im Nenner im rechten Term
$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2-x}{8\cdot{}(x^2-2x+2)}+\bruch{2+x}{ 8 (x^2+2x+2)} dx} [/mm] $
Kannst du das bestätigen?
Gruß
TheBozz-mismo
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hallo,
kann ich bestätigen, entschuldige die unachtsamkeit. ich hoffe es hat dich nicht zu viel zeit gekostet.
lg und gute nacht!
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