Stammfunktion gebr.-rat. Fkt. < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Mi 15.02.2006 | | Autor: | ghl |
| Aufgabe | | Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x)= [mm] \bruch{x}{2x-6}. [/mm] Bestimmen Sie eine Stammfunktion F von f. Geben Sie das unbestimmte Integral an. (Tip: Zerlegen Sie den Term von f zunächst in Asymptote und Restterm!) |
Hier stellt sich mir ein Problem, weil ich nicht fähig bin, diesen Term zu zerlegen, so dass als ein Summand die Asymptote von [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und als anderer Summand ein Restterm steht, so dass man vielleicht integrieren könnte.
Könnt ihr mir helfen, diese Form herzustellen und sie zu integrieren.
P.S. Wir hatten bis jetzt noch keine ln-Funktionen. Bedarf es ihnen bei dieser Aufgabe? Als ich versucht habe, den Nenner umzuschreiben, erhält man ja die Potenz -1, bei deren Integration die sog. Potenzregel versagt.
Außerdem sollen wir uns zur math. Festigung und/oder Wiederholung auch das "Top im Abi - Mathematik" von Schroedel besorgen. Was haltet ihr von diesem Buch?
|
|
| |
|
Hi, ghl,
> Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x)=
> [mm]\bruch{x}{2x-6}.[/mm] Bestimmen Sie eine Stammfunktion F von f.
> Geben Sie das unbestimmte Integral an. (Tip: Zerlegen Sie
> den Term von f zunächst in Asymptote und Restterm!)
> Hier stellt sich mir ein Problem, weil ich nicht fähig
> bin, diesen Term zu zerlegen, so dass als ein Summand die
> Asymptote von [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und als anderer Summand ein
> Restterm steht, so dass man vielleicht integrieren könnte.
>
> Könnt ihr mir helfen, diese Form herzustellen und sie zu
> integrieren.
Ja! (siehe hinten!)
> P.S. Wir hatten bis jetzt noch keine ln-Funktionen. Bedarf
> es ihnen bei dieser Aufgabe? Als ich versucht habe, den
> Nenner umzuschreiben, erhält man ja die Potenz -1, bei
> deren Integration die sog. Potenzregel versagt.
Stimmt! Du brauchst den ln!
> Außerdem sollen wir uns zur math. Festigung und/oder
> Wiederholung auch das "Top im Abi - Mathematik" von
> Schroedel besorgen. Was haltet ihr von diesem Buch?
Kenn' ich nicht!
Nun zur Aufgabe selbst:
Du musst halt Polynomdivision machen:
x : (2x - 6) = 0,5 + [mm] \bruch{3}{2x-6}
[/mm]
-(x-3)
------
3
Nun zu Deinem Integral. Ich wähle dabei x > 3 (für x < 3 brauchst Du im Ergebnis Betragstriche im Argument des ln):
[mm] \integral{\bruch{x}{2x-6}dx} [/mm] = [mm] \integral{0,5 + \bruch{3}{2x-6} dx}
[/mm]
= 0,5*x + [mm] \bruch{3}{2}*\integral{\bruch{1}{x-3} dx}
[/mm]
= 0,5*x + 1,5*ln(x-3) + c
mfG!
Zwerglein
|
|
|
|
