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Forum "Integralrechnung" - Stammfunktion gesucht
Stammfunktion gesucht < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Stammfunktion gesucht: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:19 Do 25.02.2010
Autor: Auron

Aufgabe
[mm] f(x)=\bruch{3x^{2}-5x}{3x-9} [/mm]

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die im 1. Quadranten vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossen wird.

Hallo,

die Nullstellen der Funktion sind 0 und [mm] \bruch{5}{3}. [/mm] Ich habe also das Integral wie folgt aufgestellt:

[mm] \integral_{0}^{\bruch{5}{3}}{\bruch{3x^{2}-5x}{3x-9} dx} [/mm]

Beim Aufstellen der Stammfunktion habe ich Substitution versucht, jedoch ohne sinnvolles Ergebnis. Eine Produktintegration hat mich ebenfalls nur zu immer neuen Produkten geführt.
Mit Hilfe des Internets kann ich zwar eine Lösung berechnen
[]Wolfram Mathematica
lassen, jedoch ist der Lösungsweg mir nicht nachvollziehbar.

Ich bitte euch daher um eine Benennung der anzuwendenden Integrationsregel/methode und einer schrittweisen Lösung oder einem nachvollziehbaren Ansatz.

Vielen Dank für eure Hilfe!

Auron


        
Bezug
Stammfunktion gesucht: erst Polynomdivision
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:21 Do 25.02.2010
Autor: Loddar

Hallo Auron!


Da der Zählergrad mindestesns so groß ist wie der Nennergrad, musst Du zunächst eine MBPolynomdivision durchführen.

Damit erhältst Du dann einen ganzrationalen Term sowie einen (echt) gebrochenrationalen Term, welche dann beide separat integriert werden können.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Stammfunktion gesucht: Vollständige Lösung + Dank
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:51 Do 25.02.2010
Autor: Auron

Hallo Loddar,

ersteinmal vielen Dank! Manchmal braucht es wirklich nur einen kleinen Anstoß, den mir mein Buch leider nicht liefern konnte.

Für alle die gerne nochmal nachrechnen wollen, hier meine komplette Lösung:

[mm] f(x)=\bruch{3x^{2}-5x}{3x-9} [/mm]

Nach Durchführung der Polynomdivison erhält man:

[mm] x+\bruch{4}{3}+\bruch{12}{3x-9} [/mm] (Das hintere ist der Restterm)

Man integriert also jetzt beide Terme

[mm] \integral_{0}^{\bruch{5}{3}}{x+\bruch{4}{3} dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{\bruch{5}{3}}{x+\bruch{12}{3x-9} dx} [/mm]

und erhält

[mm] [\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{4}{3}x [/mm] + 4ln(|3x-9|)]

Setzt man nun die Grenzen ein und rechnet aus erhält man

[mm] A\approx0,3674 [/mm]

Dank und Gruß

Auron


Bezug
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