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| Aufgabe | Es handelt sich im folgendes Integral:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{Aln(1+\bruch{x}{y})}{1+Aln(1+\bruch{x}{y})} dx}
[/mm]
Ich suche die Stammfunktion. |
Folgenden Weg habe ich versucht:
1. Substitution:
[mm] t=1+\bruch{x}{y}
[/mm]
Lösung:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{Aln(1+\bruch{x}{y})}{1+Aln(1+\bruch{x}{y})} dx}=y\integral_{}^{}{\bruch{Aln(t)}{1+Aln(t)} dt}
[/mm]
(Richtig?)
Da das Integral dann etwas einfacher aussah, dachte ich mir, weiter zu substituieren (hätte vielleicht gleich in einem Schritt passieren können):
C=ln(t)
Lösung:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{Aln(1+\bruch{x}{y})}{1+Aln(1+\bruch{x}{y})} dx}=y\integral_{}^{}{\bruch{AC}{1+AC}exp(C) dC}
[/mm]
nur ist das leider kein wirklicher Gewinn - oder?
Und darum erbitte ich mal eure Meinung: Wie komme ich weiter?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es handelt sich im folgendes Integral:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{Aln(1+\bruch{x}{y})}{1+Aln(1+\bruch{x}{y})} dx}[/mm]
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Nachdem ich eben Wolfram mal gefragt habe, fürchte ich, daß Du nicht fündig werden wirst.
Worum geht es denn? Wie lautet die exakte Aufgabenstllung bzw. welches Problem möchtest Du gerade lösen?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:32 Mi 09.02.2011 | | Autor: | Adanedhel |
Es geht um den Energieeintrag in ein System, das zusammengepresst wird. Diesen kann ich nach folgender Formel berechnen:
[mm] E=\integral_{0}^{s_{max}}{F(s) ds}
[/mm]
Den Zusammenhang zwischen Kraft F und Weg s kenne ich über ein Log-Gesetz zwischen Druck p und Verdichtung V mit
[mm] V=Aln(1+\bruch{p}{y})
[/mm]
Das ist nicht direkt F(s), kann jedoch über eine Umformung in das gezeigte Integral überführt werden.
Wenn es zu dem Integral eine Lösung gegeben hätte, die ich übersehen habe, dann wäre alles gut. Andernfalls (offenbar) muss ich mir etwas anderes einfallen lassen. Tipps? Oder andere Meinungen?
(Reicht diese Erklärung?)
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Hallo Adanedhel,
> Es handelt sich im folgendes Integral:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{Aln(1+\bruch{x}{y})}{1+Aln(1+\bruch{x}{y})} dx}[/mm]
>
> Ich suche die Stammfunktion.
> Folgenden Weg habe ich versucht:
>
> 1. Substitution:
>
> [mm]t=1+\bruch{x}{y}[/mm]
>
> Lösung:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{Aln(1+\bruch{x}{y})}{1+Aln(1+\bruch{x}{y})} dx}=y\integral_{}^{}{\bruch{Aln(t)}{1+Aln(t)} dt}[/mm]
>
> (Richtig?)
>
> Da das Integral dann etwas einfacher aussah, dachte ich
> mir, weiter zu substituieren (hätte vielleicht gleich in
> einem Schritt passieren können):
>
> C=ln(t)
>
> Lösung:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{Aln(1+\bruch{x}{y})}{1+Aln(1+\bruch{x}{y})} dx}=y\integral_{}^{}{\bruch{AC}{1+AC}exp(C) dC}[/mm]
>
> nur ist das leider kein wirklicher Gewinn - oder?
>
> Und darum erbitte ich mal eure Meinung: Wie komme ich
> weiter?
Durch eine weitere Substitution [mm]u=1+AC[/mm]
siehst Du dann, daß dies auf die Berechnung eines
Integrals der Form
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{e^{\alpha*u+\beta}}{u} \ du}[/mm]
hinausläuft.
Und von diesem Integramden ist die Stammfunktion
nicht in geschlossener Form angebbar.
Es handelt sich hier um die ![[]](/images/popup.gif) Integralexponentialfunktion
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Wird die Sache besser, wenn ich die Aufgabenstellung folgendermaßen vereinfachen kann:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1+Aln(1+\bruch{x}{y})} dx}
[/mm]
Wenn ich jetzt [mm] b=1+Aln(1+\bruch{x}{y}) [/mm] substituiere, komme ich auf
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1+Aln(1+\bruch{x}{y})} dx}=\bruch{y}{A}\integral_{}^{}{\bruch{exp\bruch{b-1}{A}}{b} dx}
[/mm]
...wieso komm' ich da schon wieder auf so eine "Integralexponentialfunktion"? Habe ich mich verrechnet?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 Do 10.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wird die Sache besser, wenn ich die Aufgabenstellung
> folgendermaßen vereinfachen kann:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+Aln(1+\bruch{x}{y})} dx}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt [mm]b=1+Aln(1+\bruch{x}{y})[/mm] substituiere, komme
> ich auf
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+Aln(1+\bruch{x}{y})} dx}=\bruch{y}{A}\integral_{}^{}{\bruch{exp\bruch{b-1}{A}}{b} dx}[/mm]
Da sollte rechts stehen:
[mm] \bruch{y}{A}\integral_{}^{}{\bruch{exp\bruch{b-1}{A}}{b} db}
[/mm]
>
> ...wieso komm' ich da schon wieder auf so eine
> "Integralexponentialfunktion"?
Na ja, es ist eben so ...
> Habe ich mich verrechnet?
Nein
FRED
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Na gut. Jetzt habe ich eine Taylorreihe für ln(1+z) entdeckt:
[mm]ln(1+z)=\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i\bruch{z^i}{i}[/mm]
Mein Problem lautet dann
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+Aln(1+z)} dz}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+A\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i\bruch{z^i}{i}} dz}[/mm]
Meint ihr, dass ich damit dem Integral zu Leibe rücken kann? (Beispielsweise wenn ich nach i=3...4 abbreche)Oder lande ich wieder nur bei der Integralexponentialfunktion?
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Hallo Adanedhel,
> Na gut. Jetzt habe ich eine Taylorreihe für ln(1+z)
> entdeckt:
> [mm]ln(1+z)=\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i\bruch{z^i}{i}[/mm]
>
> Mein Problem lautet dann
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+Aln(1+z)} dz}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+A\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i\bruch{z^i}{i}} dz}[/mm]
>
> Meint ihr, dass ich damit dem Integral zu Leibe rücken
> kann? (Beispielsweise wenn ich nach i=3...4 abbreche)Oder
> lande ich wieder nur bei der Integralexponentialfunktion?
Ja, Du landest durch eine entsprechende Transformation
des Integranden wieder bei der Integralexponentialfunktion.
Gruss
MathePower
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Gut, letzter Versuch: Die Gesetzmäßigkeit mit dem Logarithmus scheint nicht zu funktionieren, da ich mit einer Integralexponentialfunktion nicht viel anzufangen weiß.
Aus der Literatur hat nun jemand versucht folgenden Ansatz zu verwenden:
[mm] Aln(1+\bruch{x}{y})=\bruch{ax}{1+ax}
[/mm]
Er hätte dann dieses Integral zu lösen:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+Aln(1+\bruch{x}{y})} dx}=\integral_{}^{}{\bruch{1+ax}{1+bax} dx}[/mm]
Dieses Integral zu lösen ist kein Problem (Substitution von [mm]1+bax[/mm] etc.). Meine Frage wäre aber: Kann ich eine Log-Funktion einfach über diesen Bruch annähern?
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