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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Sa 05.05.2012 | | Autor: | anetteS |
| Aufgabe | | Besitzt die Funktion f : [mm] \IC \to \IC, [/mm] f(z) := [mm] \overline{z}^{2} [/mm] eine Stammfunktion? |
Hallo!
Ich habe bei der obigen Frage mir Folgendes überlegt:f erfüllt nur im Ursprung die Cauchy-Riemannschen-Bedingungen. Kann ich daraus folgern, dass f nur dort holomorph ist?
Dann könnte ich doch sagen, dass sie nur dort eine Stammfunktion hat, oder?
Muss ich noch beachten, dass das Gebiet einfach zusammenhängend sein muss?
Ich danke Euch für Eure Hilfe.
Viele Grüße,
Anette.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Sa 05.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Besitzt die Funktion f : [mm]\IC \to \IC,[/mm] f(z) :=
> [mm]\overline{z}^{2}[/mm] eine Stammfunktion?
> Hallo!
>
> Ich habe bei der obigen Frage mir Folgendes überlegt:f
> erfüllt nur im Ursprung die
> Cauchy-Riemannschen-Bedingungen. Kann ich daraus folgern,
> dass f nur dort holomorph ist?
> Dann könnte ich doch sagen, dass sie nur dort eine
> Stammfunktion hat, oder?
> Muss ich noch beachten, dass das Gebiet einfach
> zusammenhängend sein muss?
>
> Ich danke Euch für Eure Hilfe.
> Viele Grüße,
> Anette.
Die Frage ist, ob f auf [mm] \IC [/mm] eine Stammfunktion besitzt. Wäre das der Fall, so wäre f auf [mm] \IC [/mm] holomorph.
Ist das so ?
FREED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Sa 05.05.2012 | | Autor: | anetteS |
Hallo fred97!
Vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Das heißt, ich darf nicht von holomorph auf Stammfunktion schließen, sondern muss genau andersrum vorgehen? Oder verstehe ich dich falsch?
Woher weiß ich dann, ob f auf C eine Stammfunktion besitzt? Muss ich einfach versuchen eine anzugeben?
Viele Grüße
Anette
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:31 So 06.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred97!
>
> Vielen Dank für deine schnelle Antwort.
>
> Das heißt, ich darf nicht von holomorph auf Stammfunktion
> schließen,
Eine holomorphe Funktion muß keine Stammfunktion besitzen ! Bsp.: f(z)=1/z hat auf [mm] \IC [/mm] \ {0} keine Stammfunktion
> sondern muss genau andersrum vorgehen? Oder
> verstehe ich dich falsch?
Ist G ein Gebiet in [mm] \IC [/mm] und f:G [mm] \to \IC [/mm] eine Funktion die auf G eine Stammfunktion F besitzt, so ist F holomorph auf G und F'=f auf G.
Als holomorphe Funktionen ist F beliebig oft komplex differenzierbar auf G, also ist auch f holomorph auf G.
Trifft das auf Din f zu ?
FRED
>
> Woher weiß ich dann, ob f auf C eine Stammfunktion
> besitzt? Muss ich einfach versuchen eine anzugeben?
>
> Viele Grüße
> Anette
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 So 06.05.2012 | | Autor: | anetteS |
Bei mir ist das Gebiet also ganz [mm] \IC. [/mm] Aber f ist nicht auf ganz [mm] \IC [/mm] holomorph. Denn ich hatte ja gezeigt, dass C-R-B nur im Ursprung gelten.
Ich weiß leider immer noch nicht, wie ich weiter argumentieren muss. Kann mir bitte nochmal jemand helfen die richtige Argumentation zu finden.
Danke schön,
Anette.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 So 06.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bei mir ist das Gebiet also ganz [mm]\IC.[/mm] Aber f ist nicht auf
> ganz [mm]\IC[/mm] holomorph. Denn ich hatte ja gezeigt, dass C-R-B
> nur im Ursprung gelten.
> Ich weiß leider immer noch nicht, wie ich weiter
> argumentieren muss. Kann mir bitte nochmal jemand helfen
> die richtige Argumentation zu finden.
Nochmal: wenn f auf [mm] \IC [/mm] eine Stammfunktion hätte, so wäre f auf [mm] \IC [/mm] holomorph.
Hattet Ihr überhaupt den Satz, dass holomorphe Funktionen beliebig oft komplex differenzierbar sind ?
Wenn nein, so kannst Du es so machen:
Sei a(t):=t+it und [mm] b(t):=t+it^2 [/mm] für t [mm] \in [/mm] [0,1]
Wenn f eine Stammfunktion hätte, so wäre
[mm] \integral_{a}^{}{f(z) dz}=\integral_{b}^{}{f(z) dz}
[/mm]
FRED
>
> Danke schön,
> Anette.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 So 06.05.2012 | | Autor: | anetteS |
Ja, den Satz hatten wir.
Ich habe die ganze Zeit andersrum gedacht. Aber es gilt Stammfunktion--> holomorph.
Ich habe das jetzt mit Deinem zweiten Vorschlag mit a(t) und b(t) nachgerechnet und es gilt nicht. Das heißt also f hat keine Stammfunktion.
Könntest Du mir bitte nochmal erklären, wieso ich das überhaupt so machen kann mit a(t)=t+it und [mm] b(t)=t+it^{2}. [/mm] Ich möchte das wirklich gerne verstehen.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 So 06.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ja, den Satz hatten wir.
> Ich habe die ganze Zeit andersrum gedacht. Aber es gilt
> Stammfunktion--> holomorph.
Na, also, warum hat Dir dann meine erste Antwort nicht genügt ?
>
> Ich habe das jetzt mit Deinem zweiten Vorschlag mit a(t)
> und b(t) nachgerechnet und es gilt nicht. Das heißt also f
> hat keine Stammfunktion.
> Könntest Du mir bitte nochmal erklären, wieso ich das
> überhaupt so machen kann mit a(t)=t+it und [mm]b(t)=t+it^{2}.[/mm]
> Ich möchte das wirklich gerne verstehen.
Wenn f eine Stammfunktion hat, so hängt das Wegintegral nur vom Anfangs und Endpunkt des Weges ab.
Die Wege a und b haben gleiche Anfangpunkte und gleiche Endpunkte.
FRED
>
> Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 So 06.05.2012 | | Autor: | anetteS |
Ich stand wohl irgendwie zuerst auf dem Schlauch .
Jetzt habe ich das aber alles verstanden, danke schön für die Erklärungen!
Viele Grüße,
Anette
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