Stammfunktion trigon. Fkt. < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Mi 16.07.2008 | | Autor: | carl1990 |
| Aufgabe | | Bilde die Stammfunktion von [mm] f(x)=sinx^2+cos x^2 [/mm] und [mm] g(x)=-3sinx^3+2cosx^4 [/mm] |
Hallo,
könnte mir jemand anhand dieser Funktionen erklären, wie ich eine Stammfunktion von trigonometrischen Funktionen bilde?
Gruß Carl
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Hallo Carl,
> Bilde die Stammfunktion von [mm]f(x)=sinx^2+cos x^2[/mm] und
> [mm]g(x)=-3sinx^3+2cosx^4[/mm]
> Hallo,
> könnte mir jemand anhand dieser Funktionen erklären, wie
> ich eine Stammfunktion von trigonometrischen Funktionen
> bilde?
Bei [mm]f(x)\![/mm] beachte [mm]\sin^2(x)+\cos^2(x)=1[/mm]. Bei [mm]g(x)\![/mm] kann man vielleicht auch irgendwelche trigonometrischen Sätze benutzen. Wenn einem nichts auf Anhieb einfällt, kann man die ![[]](/images/popup.gif) Additivität der Integration benutzen:
[mm]\int{-3\sin^3 x + 2\cos^4 x\,\operatorname{d}\!x}=-3\int{\sin^3 x\,\operatorname{d}\!x} + 2\int{\cos^4 x\,\operatorname{d}\!x}[/mm]
Jetzt wirst du zwei Integrale zu lösen haben:
[mm]\int{\sin^3 x\,\operatorname{d}\!x}=\operatorname{?}[/mm]
[mm]\int{\cos^4 x\,\operatorname{d}\!x}=\operatorname{?}[/mm]
Ich mache mal das erste Integral und du das Zweite. Benutze hier die partielle Integration:
[mm]\int{\sin^3 x\,\operatorname{d}\!x}=\int{\underbrace{\sin x}_{=:u'(x)}\underbrace{\sin^2 x}_{=:v(x)}\,\operatorname{d}\!x}=\underbrace{-\cos x}_{=:u(x)}\underbrace{\sin^2 x}_{=:v(x)} - \int{\underbrace{(-\cos x)}_{=:u(x)}\underbrace{(2\sin x\cos x)}_{=:v'(x)}\,\operatorname{d}\!x}=-\cos x\sin^2 x + 2\int{\sin x\cos^2 x\,\operatorname{d}\!x}[/mm]
[mm]\int{\sin x\cos^2 x\,\operatorname{d}\!x} = -\cos x \cos^2 x-\int{(-\cos x)(-\sin x)2\cos x\,\operatorname{d}\!x}=-\cos^3 x-2\int{\sin x\cos^2 x\,\operatorname{d}\!x}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow 3\int{\sin x\cos^2 x\,\operatorname{d}\!x}=-\cos^3 x\Leftrightarrow \int{\sin x\cos^2 x\,\operatorname{d}\!x}=-\frac{\cos^3 x}{3}[/mm]
[mm]\Rightarrow\int{\sin^3 x\,\operatorname{d}\!x}=-\cos x\sin^2 x -\frac{2\cos^3 x}{3}[/mm]
Ok, und jetzt versuche mal das andere Integral.
Grüße
Karl
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