Stammfunktion von Hand/Ehrgeiz < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi !
Wir haben eine Aufgabe behandelt, in der es um das Integral einer Funktion ging. Es hieß man könne ,,von Hand" keine Stammfunktion finden, es ginge nur per GTR. Das fand ich recht enttäuschend/unbefridiegend; überlegt hab ich mir ob es mit partieller Integration ginge...?
Vielleicht weiß ja jemand (Studenten höherer Mathematik/Ingenieure) weiter.
Ich denke es müsste machbar sein, da ich schon schwerere Aufgaben gesehen habe die von Hand gelöst wurden.
f(x)= [mm] \bruch{x²-36}{x²+16}
[/mm]
Gesucht ist F(x)= ?
Also das wäre ja traurig, wenn das menschliche Wissen hier bei so einer trivialen Aufgabe an seinem Tiefpunkt wäre (um mal mathematisch zu sprechen).
Insofern lass ich mich auch nicht von pauschal ,,unmöglich'''s abwimmeln ;)
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:49 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen McChevap!
Mit den Mitteln der 4. Klasse Grundschule erscheint mir dieses Integral aber wirklich unmöglich machbar  ...
Zunächst einmal sollte man wissen: [mm] $\left[ \ \arctan(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1+x^2}$
[/mm]
Das brauchst Du später.
Dann formen wir um:
[mm] $\bruch{x^2-36}{x^2+16} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2+16-52}{x^2+16} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2+16}{x^2+16}-\bruch{52}{x^2+16} [/mm] \ = \ [mm] 1-52*\bruch{1}{16*\left(\bruch{x^2}{16}+1\right)} [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{13}{4}*\bruch{1}{1+\left(\bruch{x}{4}\right)^2}$
[/mm]
Mit der Substitution $z \ := \ [mm] \bruch{x}{4}$ [/mm] und dem o.g. Tipp kannst Du nun die Stammfunktion bilden.
Gruß
Loddar
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N'Abend !
Kann das sein, dass du dich vertippt hast ?
[mm] 1-\bruch{26}{3}*\bruch{1}{1+\left(\bruch{x}{4}\right)^2}
[/mm]
Wenn ich das richtig sehe hast du durch 2 gekürzt oder ?
Müsste dann doch so heißen:
[mm] 1-\bruch{52}{16}...<=> [/mm] 1- [mm] \bruch{26}{8}..
[/mm]
Ich hab einen Versuch gewagt:
F(x)=1x- [mm] \bruch{26}{8}* [/mm] arctan(x)
Hm...jedoch muss man dann immer dazuschreiben z= [mm] \bruch{x}{4} [/mm] oder
wie könnte ich das Integral von - bis - sonst berechnen berechnen ?
Die Aufgabe war ja ursprünglich zum Berechnen des Volumens(Wasser) eines Beckens gedacht
Fehlt noch * 500 vor das Integral, ich weiß so hätte ich nur die Fläche.
Wenn ich die Stammfunktion in den Rechner eingebe kommt ein falsches Ergebnis heraus,
außer ich sage x=z...kann man nicht anders umformen oder ?So dass man keine Substitution braucht?
=> Ist die Stammfunktion überhaupt richtig ?
=> Gibt es alternative Möglichkeiten eine Stammfunktion zu erhalten ?
Beste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:08 Do 09.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen MacChevap!
Das stimmt so nicht ganz! Du hast die Substitution $z \ = \ [mm] \bruch{x}{4}$ [/mm] nicht richtig angewandt.
Wir wollen ja berechnen: [mm] $\integral{\bruch{1}{\left(\bruch{x}{4}\right)^2+1} \ d\red{x}}$
[/mm]
Mit der o.g. Substitution müssen wir auch das $dx_$ durch ein $dz_$ ersetzen:
$z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4}$ $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ 4*dz$
Damit wird dann: [mm] $\integral{\bruch{1}{\left(\bruch{x}{4}\right)^2+1} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{1}{z^2+1} \ * 4*dz} [/mm] \ = \ [mm] 4*\arctan(z) [/mm] \ = \ ...$
Und nun wird $z_$ wieder ersetzt: $... \ = \ [mm] 4*\arctan\left(\bruch{x}{4}\right)$
[/mm]
Gruß
Loddar
PS: Da war wirklich ein Tippfehler oben drin, ich habe es nun korrigiert.
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