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| Aufgabe | a) Bestimme die Stammfunktion von:
[mm] f(x)=\bruch{x^4+x^3+x^2+x+1}{x^3+x^2}
[/mm]
b) Wie muss man [mm] \gamma [/mm] E R wählen, damit
[mm] \integral_{1}^{3}{(f(x)-\gamma) dx}=0
[/mm]
gilt? |
zu a) In der Lösung steht das ich Polynomdivision in Kombination mit Partialbruchzerlegung anwenden muss.
Bei der Polynomdivision kommt bei mir raus:
[mm] x+\bruch{1}{x}+\bruch{1}{x^3+x^2}
[/mm]
das kann ich umformen zu:
[mm] x+\bruch{1}{x}+\bruch{1}{x^2(x+1)}
[/mm]
so und dann komme ich nicht weiter....ich kann das doch sicher noch weiter zerlegen oder?
Die Lösung soll sein: [mm] f(x)=x+\bruch{x^2+x+1}{x^2(x+1)}
[/mm]
[mm] =x+\bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{x+1}
[/mm]
und daraus soll folgen:
[mm] F(x)=\bruch{1}{2}x^2-\bruch{1}{x}+ln|x+1|
[/mm]
Fragen dazu: Ist meine Lösung der Polynomdivision richtig und wie komme ich auf die Lösung der Aufgabe....weil mein Ansatz sieht ja fast so ähnlich aus, aber ich komme nicht auf das was hier als Lösung angegeben wird.
Auf die Stammfunktion komme ich mit der vorgegebenen Lösungsfunktion...aber wie ich von meinem Stand aus bis zur gegebenen Lösungsfunktion komme versteh ich nicht. Wo ist mein Denkfehler?
zu b)
Lösung laut Vorgabe:
[mm] \integral_{1}^{3}{(f(x)-\gamma) dx} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{3}{f(x)dx-\gamma }\integral_{1}^{3}{1dx} [/mm] = [mm] F(3)-F(1)-2\gamma=\bruch{14}{3}+ln(4)-ln(2)-2\gamma=\bruch{14}{3}+ln(2)-2\gamma
[/mm]
Und daraus soll folgen: [mm] \gamma=\bruch{7}{3}+\bruch{1}{2}ln(2)\approx2,6799
[/mm]
Fragen dazu: Ich hätt jetzt auch erstmal F(3)-F(1) gerechnet und da käme bei mir raus: [mm] \bruch{14}{3}+ln(2)
[/mm]
Soweit sogut.....aber woher kommt in der angegebenen Lösungsformel die 2 vor dem [mm] \gamma [/mm] her? Weil nach [mm] \gamma [/mm] umstellen is ja dann nicht das Ding...aber ich hätt jetzt keine 2 vor das [mm] \gamma [/mm] gemacht.
So, wer hat Lust das mal nachzuvollziehen? Bin euch dankbar!
Esperanza
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Hallo Loddar!
Danke für die Antwort, sie hat mir gut geholfen. Kannst du mir vielleicht noch erklären wie man so eine Partialbruchzerlegung macht? Hab sowas noch nie vorher gemacht. Brauch sozusagen mal ein Paradebeispiel :)
Gruß, Esperanza
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Fr 17.03.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo, Esperanza!
Zweck der Partialbruchzerlegung ist einen Nenner, der als Produkt dargestellt ist, "auseinander zu ziehen" und ihn so zu sagen als Summe darzustellen. Allgemein:
[mm] \bruch{Term_0}{Term_1*Term_2*...*Term_n}=\bruch{A}{Term_1}+\bruch{B}{Term_2}+...+\bruch{C}{Term_n}.
[/mm]
Ziel ist eben die Ausdrücke für die Zähler zu bestimmen, so dass wenn man die Brüche aufaddiert, dann den ursprünglichen rauskriegt.
Wie man vorgeht zeig ich dir kurz an deinem Beispiel, es ist echt nicht so kompliziert:
Zu bestimmen sind A, B und C so dass gilt:
[mm] \bruch{1}{x^2\cdot{}(x+1)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^2}+\bruch{C}{x+1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{x^2\cdot{}(x+1)}=\bruch{Ax(x+1)+B(x+1)+C(x^{2})}{x^{2}(x+1)}
[/mm]
[mm] \gdw 1=Ax^{2}+Ax+B(x+1)+Cx^{2}
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}(A+C)+x(A+B)+B-1=0.
[/mm]
Ja und dann hoffen, dass die Lösung einfach ist. In diesem Fall sieht man eigentlich leicht, dass B=1, A=-1, C=1 die Gleichung löst.
Gruß,
dormant
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Danke für die Antwort.
Aber ich check das immernoch ni so ganz. Bin da bissl langsam. Wenn unterm Bruchstrich Term1, Term2, Term3 hinkommt, dann ist bei mir [mm] x^2 [/mm] Term1 und (x+1) Term2. Woher kommt das einzelne x beim Term 1? Kann ich mir nicht erklären.
>In diesem Fall sieht man eigentlich leicht, dass B=1, A=-1, C=1 die Gleichung löst.
ähm....sorry wie geht das? Bin blind.
soll ich das irgendwie umstellen oder einfach was einsetzen?
Esperanza
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Sa 18.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Danke für die Antwort.
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> Aber ich check das immernoch ni so ganz. Bin da bissl
> langsam. Wenn unterm Bruchstrich Term1, Term2, Term3
> hinkommt, dann ist bei mir [mm]x^2[/mm] Term1 und (x+1) Term2. Woher
> kommt das einzelne x beim Term 1? Kann ich mir nicht
> erklären.
Das Problem ist das dormants `Allgemein:' nicht ganz so allgemein war wie das, was er dann benutzt hat  Wenn einer der Terme mit einer Vielfachheit $> 1$ vorkommt (z.B. der Term $x$ hat Vielfachkeit [mm] $\ge [/mm] 2$, da [mm] $x^2$ [/mm] vorkommt, und Vielfachheit [mm] $\le [/mm] 2$, da [mm] $x^3$ [/mm] nicht vorkommt, also ist die Vielfachheit genau 2) (und du musst aufpassen, dass du z.B. einen Term [mm] $x^2 [/mm] + 2 x + 1$ als $(x + [mm] 1)^2$ [/mm] schreiben kannst, also als den Term $x + 1$ mit Vielfachheit 2!), etwa das Polynom $p(x)$ mit Vielfachheit $n$, dann musst du folgendes Betrachten: [mm] $\frac{A_1}{p(x)^n} [/mm] + [mm] \frac{A_2}{p(x)^{n-1}} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] \frac{A_n}{p(x)}$, [/mm] und danach die Summanden fuer die anderen Terme.
Ich hoff mal ich hab das jetzt nicht zu kompliziert ausgedrueckt 
> >In diesem Fall sieht man eigentlich leicht, dass B=1,
> > A=-1, C=1 die Gleichung löst.
>
> ähm....sorry wie geht das? Bin blind.
Also das die angaben die Gleichung loesen sieht man durch einsetzen.
Wenn deine Frage darauf abzielte, wie man die Loesung finden kann: Dazu brauchst du den Identitaetssatz fuer Polynome: Zwei Polynome stimmen genau dann fuer alle Werte ueberein, wenn ihre Koeffizienten gleich sind (und sie damit insb. den gleichen Grad haben). Wenn also [mm] $x^2 [/mm] (A + C) = x (A + B) + (B - 1) = 0$ sein soll fuer alle Werte von $x$, so ist dies aequivalent zu $A + C = 0 [mm] \wedge [/mm] A + B = 0 [mm] \wedge [/mm] B - 1 = 0$.
Und daraus kannst du sofort $B = 1$ (dritte Gleichung), $A = -1$ (zweite Gleichung) und $C = 1$ (erste Gleichung) ablesen. Im Allgemeinen wirst du so ein lineares Gleichungssystem erhalten, was du auf ganz normalen Wege loesen kannst.
Ansonsten schau doch auch mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Hilft dir das weiter?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:36 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Esperanza |
Hallo Felix!
Danke jetzt versteh ich es schon besser! Mal sehen ob sowas in der Prüfung dran kommt.
Gruß, Esperanza
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
