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| Aufgabe | | [mm] \integral\wurzel{x²-4x+20}dx [/mm] |
Hallo!
Könntet ihr mir vielleicht noch mal auf die Sprünge helfen mit diesem Integral?
Unter der Wurzel ist ja ein binomischer Bestandteil zu entdecken, sodass ich t=x-2 substituiert habe. Dann bleibt übrig:
[mm] \integral\wurzel{t²+16}dt
[/mm]
Aber wie nun weiter? Oder ist das der falsche Ansatz?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
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Da gibt es einen Standardtrick. Entweder du substituierst [mm]t = 4 \sinh{u} \, , \ \mathrm{d}t = 4 \cosh{u} \, \mathrm{d}u[/mm] und verwendest die Funktionalgleichung [mm]1 + \sinh^2{u} = \cosh^2{u}[/mm] oder ganz ähnlich
[mm]t = 2 \left( s - \frac{1}{s} \right) \, , \ s > 0[/mm]
[mm]\mathrm{d}t = 2 \left( 1 + \frac{1}{s^2} \right) \, \mathrm{d}s[/mm]
Hier fehlt also das nachgeschobene [mm]s = \operatorname{e}^u[/mm]. Beim zweiten Vorschlag fällt die Wurzel weg:
[mm]t^2 + 16 = 4 \left( s^2 + \frac{1}{s^2} - 2 \right) + 16 = 4 \left( s^2 + \frac{1}{s^2} + 2 \right) = \left( 2 \left( s + \frac{1}{s} \right) \right)^2 \ \ \Rightarrow \ \ \sqrt{t^2 + 16} = 2 \left( s + \frac{1}{s} \right)[/mm]
Übrig bleibt also die Integration einer Summe von Potenzfunktionen mit negativen Exponenten. Und beachte am Schluß auch:
[mm]2 \left( s^2 - \frac{1}{s^2} \right) = 2 \left( s - \frac{1}{s} \right) \left( s + \frac{1}{s} \right) = \frac{1}{2} \, t \cdot \sqrt{t^2 + 16}[/mm]
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