Stammfunktion von gebr.rat.Fnk < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo ,
ich möchte rein aus Interesse mal wissen , wie man z.B bei dieser Funktion vorgeht , um die Stammfunktion zu bilden :
f(x) = [mm] \bruch{x^3 + 3}{x^2 + 5}
[/mm]
Kann ich jetzt zum Beispiel [mm] x^3 [/mm] +3 * [mm] \bruch{1}{x^2+5} [/mm] schreiben und sowas wie eine Produktregel anwenden ? Oder liege ich komplett falsch ?
Sicherlich werden wir sowas noch rechnen , aber hab heute so eine Aufgabe gesehen und will die jetzt mal lösen , ohne "Vorkenntnisse" , sowas interessiert mich.
|
|
| |
|
Hallo pc_doctor,
> Hallo ,
>
> ich möchte rein aus Interesse mal wissen , wie man z.B bei
> dieser Funktion vorgeht , um die Stammfunktion zu bilden :
>
> f(x) = [mm]\bruch{x^3 + 3}{x^2 + 5}[/mm]
>
> Kann ich jetzt zum Beispiel [mm]x^3[/mm] +3 * [mm]\bruch{1}{x^2+5}[/mm]
> schreiben und sowas wie eine Produktregel anwenden ? Oder
> liege ich komplett falsch ?
>
Da liegst Du leider daneben.
Richtig ist, dass zunächst eine Polynomdivision durchgeführt wird,
da Grad des Zählerpolynoms > Grad des Nennerpolynoms.
Mit dem gebrochenrationalen Teil kann dann
eine Partialbruchzerlegung durchgeführt werden.
> Sicherlich werden wir sowas noch rechnen , aber hab heute
> so eine Aufgabe gesehen und will die jetzt mal lösen ,
> ohne "Vorkenntnisse" , sowas interessiert mich.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 Mo 20.02.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Oh okay , vielen Dank für die schnelle Antwort.
Werde später das mal probieren und dann hier posten , vielen Dank aber für die Antwort.
|
|
|
| |
|
Also ich bin in dem Gebiet neu und hab es nur gelernt, weil ich nicht wusste, dass ich das für die Mathe-Klausur, die ich heute geschrieben habe, nicht gebraucht habe :D
Aber das mit der Polynomdivision scheint mir recht schlüssig. Wenn du dich auch wieder einarbeiten musst, sind hier zwei Rechner, die es anhand jeden beliebigen Beispiels demonstrieren:
![[]](/images/popup.gif) 1. Erklärung, aber mit nicht vollständigt dividiertem Polynom
2. Kompliziertes unüberschaubares Ergebnis mit wenig Erklärung
Ich denke, du fängst damit an, dass den Nenner zu " [mm] 1+x^2 [/mm] " umformst und den Zähler, wie vorgeschlagen als weiteres Produkt beiseite legst. Denn das Integral von " [mm] 1/(1+x^2) [/mm] " entspricht " arctan x " nach allgemeiner Regel. Um den Nenner so umzuformen benutzt man Substitutionen. Ohne das wirst du hier nicht weiterkommen. Deswegen hoffe ich einfach mal, dass du die nötigen Kenntnisse besitzt:
Subsitution
[mm] x^2 [/mm] + 5 = 1 + [mm] z^2
[/mm]
Umformung
x = [mm] sqrt(z^2-4)
[/mm]
bzw.
z = [mm] sqrt(x^2+4)
[/mm]
-> also:
[mm] \integral{\bruch{1}{x^{2} + 5} dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{1 + z^{2}} dx}
[/mm]
Jetzt sorgen wir dafür, dass nach z integriert wird:
x' = [mm] \bruch{dx}{dz} [/mm] = [mm] \bruch{z}{\wurzel{z^{2}-4}} [/mm] | * dz
dx = [mm] \bruch{z}{\wurzel{z^{2}-4}} [/mm] * dz
Dieses dx wird jetzt in der "substituierten" Funktion eingefügt
[mm] \integral{\bruch{1}{x^{2} + 5} dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{1 + z^{2}} dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{1 + z^{2}} * \bruch{z}{\wurzel{z^{2}-4}} * dz}
[/mm]
Öööööhm, bei den letzten Malen heute war das der Moment, wo ich was kürzen kann oder so :D
Tschuldige für die Zeitvergeudung, aber wenigstens weißt du jetzt, wie man den Ansatz macht. Nach dem Integrieren von z fügt man einfach die Definition von z (durch x) ein und zack hat man ne hübsche Funktion.
PS: Es kann aber auch sein, dass du ne ziemlich bescheuerte Funktion genommen hast :D
So wie das jetzt aussieht, funktioniert weder Polynomdivision, noch die anschließende Substituierung, noch eine evtl. Weiterführung mit der Produktregel. Das Ergebnis scheint mir auch sehr kompliziert:
Wolframs genialer Integralrechner
Gruß, Thomas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 Mo 20.02.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Vielen Dank bestofchaos.
Hast echt schön gemacht echt ausführlich und so :D
Leider besitze ich noch nicht die Kenntnisse , z.B Substitution etc , wir haben mit dem Thema Integralrechnung neu angefangen und kann eigentlich nur einfache Funktionen integrieren , diese Funktion habe ich mir jetzt einfach so ausgedacht , weil ich mich für Mathematik interessiere , wollte ich mal wissen , wie man sowas macht.
Aber das scheint echt kompliziert zu sein , naja aber das wird mir bestimmt noch beigebracht.
Trotzdem vielen Dank an bestofchaos und an Mathe-Power.
Werde ich alles unter die Lupe nehmen , sobald ich mich ein bisschen "mehr" auskenne.
Schönen Abend noch.
|
|
|
|
