Stammfunktionen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Sa 30.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hallo,
Also, kann mir jemand mal helfen.
Um eine Stammfunktion zu finden, hat man doch mehrere Möglichkeiten, z.B. partielle Integration oder Substitution oder die ganz einfachen wie z.B. eine Stammfunktion von [mm] ax^{2}.
[/mm]
Aber wenn man jetzt so eine hat:
[mm] \bruch{1}{1+x^2}
[/mm]
Wie geht das dann?
Und [mm] e^{-x}. [/mm] Ist das aufgeleitet wieder [mm] e^{-x}?
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Sa 30.10.2010 | | Autor: | ONeill |
Hi!
> Aber wenn man jetzt so eine hat:
>
> [mm]\bruch{1}{1+x^2}[/mm]
Die Integration ergibt arctan(x)
Über die Umkerhfunktion sollte sich das integrieren lassen.
> Und [mm]e^{-x}.[/mm] Ist das aufgeleitet wieder [mm]e^{-x}?[/mm]
Nicht ganz, drehen wir es mal andersrum:
Wenn Du [mm] e^{-x} [/mm] ableitest erhälst Du [mm] -e^{-x}. [/mm] Du musst also lediglich auf das Vorzeichen achten.
Gruß Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Sa 30.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
Danke ;) Gibts auch ne Möglichkeit, irgendeinen Bruch ganz allgemein aufzuleiten?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo SolRakt!
Bitte nicht das Wort "aufl..." verwenden ... *schüttel*
Für Brüche gibt es kein Allgemeinrezept. Zunächst sollte man derart umformen, dass der Nennergrad echt größer ist als der Zählergrad.
Dann darauf schauen, ob im zähler nicht vielleicht die Ableitung des Nenners steht. Dann geht es schnell gemäß:
[mm] $\integral{\bruch{f'(x)}{f(x)} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \ln\left|f(x)\right|+c$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Sa 30.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
Und wenn man jetzt sowas hier hat:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x}}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo SolRakt!
Das kann man zunächst umformen zu: [mm] $(1-x)^{-\bruch{1}{2}}$ [/mm] .
Substituiere $z \ := \ 1-x$ und gehe anschließend mit der  Potenzregel vor.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Sa 30.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
Danke. Das hab ich jetzt gut verstanden ;)
Aber eine Sache versteh ich immer noch nicht.
Die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{cos^{2}x} [/mm] soll tan x sein, aber wie kommt man darauf. Also, hab das Ergebnis ja schon, aber verstehe nicht den Rechenweg.
[mm] cos^{2}x [/mm] - [mm] sin^{2}x [/mm] ist auch wieder eine Funktion, wo ich die Stammfunktion nicht ermitteln könnte. Es soll aber sin x [mm] \* [/mm] cos x sein. Hmm. Danke für jede Hilfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Sa 30.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke. Das hab ich jetzt gut verstanden ;)
>
> Aber eine Sache versteh ich immer noch nicht.
>
> Die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{cos^{2}x}[/mm] soll tan x sein,
> aber wie kommt man darauf. Also, hab das Ergebnis ja schon,
> aber verstehe nicht den Rechenweg.
Umgekehrt wird ein Schuh draus: Du weisst, dass die Ableitung von [mm] $\tan [/mm] x$ die Funktion [mm]\bruch{1}{cos^{2}x}[/mm] ist. Also ist [mm] $\tan [/mm] x$ eine Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{cos^{2}x}[/mm].
> [mm]cos^{2}x - sin^{2}x[/mm] ist auch wieder eine Funktion, wo ich
> die Stammfunktion nicht ermitteln könnte. Es soll aber sin
> x [mm]\*[/mm] cos x sein. Hmm. Danke für jede Hilfe.
Also erst einmal ist nach dem Additionstheorem für den Cosinus
[mm]\cos^{2}x - \sin^{2}x = \cos(2x) [/mm] ,
und damit ist die Stammfunktion [mm] $\bruch{1}{2}\sin [/mm] (2x) = [mm] \sin [/mm] x * [mm] \cos [/mm] x$.
Anmerkung: es gibt einen ganz allgemeinen Trick für Integrale, die nur trigonometrische Funktionen enthalten: man substituiert [mm] $z=\tan\bruch{x}{2}$ [/mm] und rechnet alle trigonometrischen Funktionen über die Additionstheoreme um. Es bleibt ein Integral über eine gebrochenrationale Funktion von z übrig.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Sa 30.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
Noch eine Frage. Sry.
Die Stammfunktion von [mm] \bruch{x}{\wurzel{1+x^{2}}} [/mm] soll man finden.
Wenn ich das umforme, steht dann das da:
x [mm] \* (1+x^{2})^{-0,5}
[/mm]
Mittels partieller Integration erhalte ich folgendes:
x [mm] \* [/mm] (2 [mm] \* [/mm] (1+ [mm] x^{2})^{-0,5}) [/mm] - [mm] \bruch{4}{3}(1+x^{2})^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
Ich weiß aber, dass [mm] \wurzel{x^{2} + 1} [/mm] rauskommen muss und das steht bei mir ja garnicht. Ist meins denn völlig falsch oder kann man das leicht umformen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Sa 30.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Noch eine Frage. Sry.
>
> Die Stammfunktion von [mm]\bruch{x}{\wurzel{1+x^{2}}}[/mm] soll man
> finden.
>
> Wenn ich das umforme, steht dann das da:
>
> [mm]x* (1+x^{2})^{-0,5}[/mm]
>
> Mittels partieller Integration erhalte ich folgendes:
>
> [mm]x *(2 * (1+ x^{2})^{-0,5}) - \bruch{4}{3}(1+x^{2})^{\bruch{3}{2}}[/mm]
Ich weiss nicht, was du da gerechnet hast.
Es bietet sich die Substitution [mm] $z=1+x^2$ [/mm] an, denn
[mm] \bruch{dz}{dx} = 2x [/mm], also [mm]\bruch{x}{\wurzel{1+x^{2}}}= \bruch{1}{2\sqrt{z}} \bruch{dz}{dx} [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Sa 30.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
Kannst du mir das mit der Substitution vllt mal kurz erklären? Irgendwie versteh ich nicht, was du da gemacht hast.
|
|
|
| |
|
Hallo, Ziel ist,
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{\wurzel{1+x^{2}}} dx} [/mm] zu vereinfachen
wir substituieren
[mm] z:=1+x^{2}
[/mm]
jetzt bilden wir die Ableitung
[mm] \bruch{dz}{dx}=2x
[/mm]
stellen nach dx um
[mm] dx=\bruch{dz}{2x}
[/mm]
jetzt ersetzen wir im Integral [mm] 1+x^{2} [/mm] durch z und dx durch [mm] \bruch{dz}{2x}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{\wurzel{z}}\bruch{dz}{2x}}
[/mm]
x kannst du kürzen
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{z}}\bruch{dz}{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] vor das Integral ziehen
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{z}}dz}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{}^{}{z^{-\bruch{1}{2}}dz}
[/mm]
Steffi
|
|
|
|
