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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:31 Di 10.01.2012 | | Autor: | DudiPupan |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Definitionsbereiche und die Stammfunktion folgender Funktionen:
$(i) x [mm] \mapsto [/mm] 43tan(x)$
$(ii) x [mm] \mapsto 10e^x x^2$
[/mm]
$(iii) x [mm] \mapsto \bruch{x^2+1}{x^4-x^2}$
[/mm]
$(iv) x [mm] \mapsto \bruch{37}{x+xln(x)}$ [/mm] |
Also die Definitionsbereiche habe ich soweit:
$(i) [mm] D=\IR \backslash \{ \bruch{k}{2} \pi | k \in \IZ \}$
[/mm]
$(ii) [mm] D=\IC$
[/mm]
$(iii) [mm] D=\IC \backslash \{-1,0,1 \}$
[/mm]
$(iv) [mm] D=\IC\backslash \{x|x\le 0\}$
[/mm]
Stimmt das soweit? :)
Ich hab nur Probleme bei den Stammfunktionen.
Bin für jede Hilfe sehr dankbar!
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Hallo DudiPupan!
Grundsätzlich sehen die Definitionsbereiche gut aus. Aber warum gleitest Du plötzlich in die Menge der komplexen Zahlen [mm] $\IC$ [/mm] ab und verbleibst nicht in [mm] $\IR$ [/mm] ?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Di 10.01.2012 | | Autor: | DudiPupan |
Oh, sorry, das war mein Fehler.
Bin gedanklich in der Aufgabe verrutscht.
Sollten eigentlich alle in der Menge der reellen Zahlen liegen ;)
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Hallo!
> [mm](ii) x \mapsto 10e^x x^2[/mm]
Hier gilt es, zweimal partielle Integration anzuwenden.
Gruß vom
Roadrunner
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Also dann hätte ich folgendes:
[mm] $\integral x^2 [/mm] 10 [mm] e^x [/mm] = [mm] \integral [/mm] f* g' = [f * g ] - [mm] \integral [/mm] f' * g = [mm] [x^2 [/mm] 10 [mm] e^x [/mm] ] + [mm] \integral [/mm] -2x* [mm] 10e^x$
[/mm]
[mm] $\integral [/mm] 2x * [mm] 10e^x= \integral [/mm] f * g' = [f * g ] - [mm] \integral [/mm] f' * g = [-20x * [mm] e^x]- \integral -20e^x$
[/mm]
[mm] $\rightarrow \integral x^2 [/mm] 10 [mm] e^x= 10x^2 e^x [/mm] - 20x [mm] e^x [/mm] + 20 [mm] e^x [/mm] = [mm] 10e^x(x^2-2x+2)$
[/mm]
Stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Di 10.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
statt nachzufragen, ob was stimmt einfach die Stammfkt differenzieren, das müssen wir auch. sie ist richtig!
es fehlt die Integrationskonstante.
Gruss leduart
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> Also dann hätte ich folgendes:
> [mm]\integral x^2 10 e^x = \integral f* g' = [f * g ] - \integral f' * g = [x^2 10 e^x ] + \integral -2x* 10e^x[/mm]
>
> [mm]\integral 2x * 10e^x= \integral f * g' = [f * g ] - \integral f' * g = [-20x * e^x]- \integral -20e^x[/mm]
>
> [mm]\rightarrow \integral x^2 10 e^x= 10x^2 e^x - 20x e^x + 20 e^x = 10e^x(x^2-2x+2)[/mm]
>
> Stimmt das?
ja stimmt, hast allerdings deine integrationskonstante vergessen
[mm] \integral x^2 [/mm] 10 [mm] e^x =10e^x(x^2-2x+2)+C
[/mm]
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Hallo!
> [mm](i) x \mapsto 43tan(x)[/mm]
Ersetze [mm] $\tan(x)$ [/mm] durch [mm] $\bruch{\sin(x)}{\cos(x)}$ [/mm] . Nun kannst Du $u \ := \ [mm] \cos(x)$ [/mm] substituieren.
Gruß vom
Roadrunner
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Also die erste Ableitung hätte ich mit der logarithmischen Integration gemacht:
[mm] $\integral{tan(x) dx} [/mm] = [mm] \integral{ \bruch{sin(x)}{cos(x)} dx}$
[/mm]
wähle $u(x):=cos(x)$ und somit: $u'(x)=-sin(x)$, also:
[mm] $\integral{tan(x) dx} [/mm] = [mm] -\integral{ \bruch{u'(x)}{u(x)} dx} [/mm] = -ln|u(x)|= -ln|cos(x)|$
Passt das?
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Hallo DudiPupan,
> Also die erste Ableitung hätte ich mit der logarithmischen
> Integration gemacht:
> [mm]\integral{tan(x) dx} = \integral{ \bruch{sin(x)}{cos(x)} dx}[/mm]
>
> wähle [mm]u(x):=cos(x)[/mm] und somit: [mm]u'(x)=-sin(x)[/mm], also:
> [mm]\integral{tan(x) dx} = -\integral{ \bruch{u'(x)}{u(x)} dx} = -ln|u(x)|= -ln|cos(x)|[/mm]
>
> Passt das?
Ja, das passt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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Hallo!
> [mm](iv) x \mapsto \bruch{37}{x+xln(x)}[/mm]
Klammere im Nenner $x_$ aus und substituiere anschließend $z \ := \ [mm] 1+\ln(x)$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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Also ich hab zu dieser Aufgabe folgendes, aber ich glaub das stimmt so noch nicht ganz :
[mm] $\integral \bruch{37}{x+xln(x)}dx=\integral 37*\bruch{1}{x}*\bruch{1}{1+ln(x)}dx$
[/mm]
Wähle nun:
$u(x)=1+ln(x)$
somit:
$u'(x)= [mm] \bruch{1}{x}$
[/mm]
Also:
[mm] $\integral 37*\bruch{1}{x}*\bruch{1}{1+ln(x)}dx=\integral [/mm] 37* [mm] \bruch{u(x)'}{u(x)}dx=37*ln|u(x)|+C=37*ln|1+ln(x)|+C$
[/mm]
Aber das stimmt glaube ich nicht ganz, was hab ich falsch gemacht?
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Hallo DudiPupan,
> Also ich hab zu dieser Aufgabe folgendes, aber ich glaub
> das stimmt so noch nicht ganz :
> [mm]\integral \bruch{37}{x+xln(x)}dx=\integral 37*\bruch{1}{x}*\bruch{1}{1+ln(x)}dx[/mm]
>
> Wähle nun:
> [mm]u(x)=1+ln(x)[/mm]
> somit:
> [mm]u'(x)= \bruch{1}{x}[/mm]
> Also:
> [mm]\integral 37*\bruch{1}{x}*\bruch{1}{1+ln(x)}dx=\integral 37* \bruch{u(x)'}{u(x)}dx=37*ln|u(x)|+C=37*ln|1+ln(x)|+C[/mm]
>
> Aber das stimmt glaube ich nicht ganz, was hab ich falsch
> gemacht?
Du hast nichts falsch gemacht.
Gruss
MathePower
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Okay, ja, hab mich beim überprüfen verrechnet ;)
Hat mir vielleicht noch jemand einen Tipp zur iii)?
Vielen Dank :)
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Hallo,
> Okay, ja, hab mich beim überprüfen verrechnet ;)
> Hat mir vielleicht noch jemand einen Tipp zur iii)?
Partialbruchzerlegung des Integranden:
[mm] $\frac{x^2+1}{x^4-x^2}=\frac{x^2+1}{x^2(x+1)(x-1)}$
[/mm]
Dann den entsprechenden Partialbruchansatz und du bekommst eine Summe elementarer Integrale ...
>
> Vielen Dank :)
Gruß
schachuzipus
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Also kann ich das dann so machen:
[mm] $\bruch{x^2+1}{x^4-x^2}=\bruch{x^2+1}{x^2(x+1)(x-1)}=\bruch{A}{x^2}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{C}{x-1}=\bruch{x^3(B+C)+x^2(A-B+C)-A}{x^2(x+1)(x-1)}$
[/mm]
[mm] $\rightarrow [/mm] B+C=0, a-B+C=1, -A=1$
[mm] $\rightarrow [/mm] A=-1, B=-1, C=1$
Somit:
[mm] $\bruch{x^2+1}{x^4-x^2}=\bruch{-1}{x^2}+\bruch{-1}{x+1}+\bruch{1}{x-1}$
[/mm]
Also:
[mm] $\integral \bruch{-1}{x^2}+\bruch{-1}{x+1}+\bruch{1}{x-1}dx [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}-ln|x+1|+ln|x-1|+C$
[/mm]
Woher weiß ich hier jedoch wie viele Variablen A,B,C ,.. ich brauche?
habe es nämlich erst falsch gemacht. Hängt das mit den Nullstellen zusammen?
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Hallo DudiPupan,
> Also kann ich das dann so machen:
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> [mm]\bruch{x^2+1}{x^4-x^2}=\bruch{x^2+1}{x^2(x+1)(x-1)}=\bruch{A}{x^2}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{C}{x-1}=\bruch{x^3(B+C)+x^2(A-B+C)-A}{x^2(x+1)(x-1)}[/mm]
Der Ansatz muss hier doch lauten:
[mm]\bruch{x^2+1}{x^4-x^2}=\bruch{x^2+1}{x^2(x+1)(x-1)}=\red{\bruch{A_{1}}{x}}+\bruch{A_{2}}{x^2}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{C}{x-1}[/mm]
> [mm]\rightarrow B+C=0, a-B+C=1, -A=1[/mm]
> [mm]\rightarrow A=-1, B=-1, C=1[/mm]
>
> Somit:
>
> [mm]\bruch{x^2+1}{x^4-x^2}=\bruch{-1}{x^2}+\bruch{-1}{x+1}+\bruch{1}{x-1}[/mm]
> Also:
> [mm]\integral \bruch{-1}{x^2}+\bruch{-1}{x+1}+\bruch{1}{x-1}dx = \bruch{1}{x}-ln|x+1|+ln|x-1|+C[/mm]
>
> Woher weiß ich hier jedoch wie viele Variablen A,B,C ,..
> ich brauche?
> habe es nämlich erst falsch gemacht. Hängt das mit den
> Nullstellen zusammen?
Das richtet sich nach den Nullstellen im Nenner und deren Vielfachheit.
Gruss
MathePower
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