Stammfunktionen & Bestimmung von f < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Do 24.06.2004 | | Autor: | jOnEs |
Bitte helft mir bei dieser Aufgabe:
"Gegeben seien die Funktionen F,G: (-1,1) [mm] \to \IR [/mm] , definiert durch
F(x) = -2 arctan [mm] (\bruch{1-x}{1+x}) [/mm] und
G(x) = arcsin [mm] (\bruch{2x}{1+x^2})
[/mm]
Zeigen Sie, daß F und G Stammfunktionen zu ein und derselben Funktion f sind, und
bestimmen Sie f. Um welche Konstante [mm] c\in \IR [/mm] unterscheiden sich F und G?"
Danke schon einmal im voraus für eure Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:33 Do 24.06.2004 | | Autor: | jOnEs |
Was ist denn daran falsch, diese 2 Aufgaben in 2 Foren gleichzeitig zu posten ?
Dachte eigentlich ich bekomme in so einem Forum Hilfe und keine Beleidigungen ...
Hoffe sehr, dass nicht alle hier so sind ...
MfG, jOnEs
ps: mein Deutsch ist völlig in Ordnung ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Do 24.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jones,
hast du dir denn den Hinweis bei Onlinemathe mal durchgelesen? Was hast du denn rausbekommen?
Oder verstehst du den Ansatz dort nicht oder funktioniert die Rechnung nicht so, wie es sein sollte (ich habe es nicht nachgerechnet!)?
Teile uns mal bitte deine bisherigen Ergebnisse mit, dann wird dir bestimmt weitergeholfen.
Leider, das habe ich bei deinem anderen Posting schon geschrieben, wirst du vor morgen von mir keine Antwort mehr bekommen. Das macht aber nichts, setze deine Rechnungen trotzdem mal herein, sie werden schon kontrolliert werden! (spätestens morgen von mir!) 
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Do 24.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
nun gut, eigentlich wollte ich erst morgen weiter machen. Aber meine Zeit reicht noch gerade dafür, die Rechnung dieser Aufgabe hinzuschreiben (hoffe ich mal). Allerdings werde ich es nicht ganz ausführlich machen, sondern nur das Wichtigste.
Überlege dir, dass alle die Rechenschritte so gemacht werden dürfen, weil die Voraussetzungen an den Definitionsbereich gerade passend sind.
Also:
[mm]F(x)=-2arctan(\frac{1-x}{1+x})[/mm]
[mm]G(x)=arcsin(\frac{2x}{1+x^2})[/mm]
Eine Aufgabe an dich:
Schlag die Ableitungen von arctan und arcsin nach.
Jedenfalls erhalten wir (im wesentlichen mit der Kettenregel, Quotientenregel) folgendes:
[mm](F-G)'(x)=-2*\frac{1}{1+\frac{(1-x)^2}{(1+x)^2}}*\frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2}-\frac{1}{\wurzel(1-\frac{4x^2}{(1+x^2)^2})}*\frac{2(1+x^2)-2x*2x}{(1+x^2)^2}=\frac{4}{(1+x)^2+(1-x)^2}-\frac{2-2x^2}{(1-x^2)(1+x^2)}[/mm]
[mm]=\frac{4}{2(1+x^2)}-\frac{2(1-x^2)}{(1-x^2)(1+x^2)}=\frac{2}{(1+x^2)}-\frac{2(1-x^2)}{(1-x^2)(1+x^2)}=\frac{2}{(1+x^2)}-\frac{2}{(1+x^2)}=0[/mm]
Diese Rechnung gilt für alle $x [mm] \in [/mm] (-1,1)$. Denke bei der Rechnung ans kürzen, Nennergleichmachen und binomische Formel. Die Zwischenschritte habe ich nämlich aus Zeitgründen nicht hingeschrieben. Frage bei Unklarheiten einfach nach!
(ein Hinweis: [mm]\frac{4}{(1+x)^2+(1-x)^2}=\frac{4}{(1+2x+x^2)+(1-2x+x^2)}=\frac{4}{2+2x^2}=\frac{2}{1+x^2}[/mm])
Die Konstante berechnest du durch Ausrechnen von z.B. $F(0)$ und [m]G(0)[/m] und dann berechnest du $c:=F(0)-G(0)$. Dann gilt nämlich für alle [m]x \in (-1,1)[/m]: $F(x)=G(x)+c$.
Achja, wenn du nochmal in die Rechnung guckst, dann siehst du:
[m]F'(x)=f(x)=\frac{2}{(1+x^2)}[/m] für alle $x [mm] \in [/mm] (-1,1)$.
Bis evtl. morgen dann!
Viele Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:17 Fr 25.06.2004 | | Autor: | jOnEs |
Danke, für eure schnelle Hilfe.
MfG, jOnEs
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 So 27.06.2004 | | Autor: | Mephi |
[mm](F-G)'(x)=-2*\frac{1}{1+\frac{(1-x)^2}{(1+x)^2}}*\frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2}-\frac{1}{\wurzel(1-\frac{4x^2}{(1+x^2)^2})}*\frac{2(1+x^2)-2x*2x}{(1+x^2)^2}=\frac{4}{(1+x)^2+(1-x)^2}-\frac{2-2x^2}{(1-x^2)(1+x^2)}[/mm]
die ableitung is ja noch logisch, aber die umformung des Termes is mir rätselhaft, ich hab das jetzt 3 mal versucht nachzurechnen und komm net drauf *g*
kannst du das eventuell nochmal genauer zeigen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 So 27.06.2004 | | Autor: | Mephi |
*verneig*
wieso seh ich sowas immer nicht? ;P
danke dir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 So 27.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Gern geschehen!
Viele Grüße
Marcel
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http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000001349&read=1&kat=Studium&PHPSESSID=0e8c51036b241676cba72fb067b503c4
