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| Aufgabe | Sei [mm]z\in\IC[/mm].
1) Finde eine Stammfunktion zu [mm]f:(0,\infty)\to\IC , f(x)=x^z[/mm]
2) Für welche [mm]z[/mm] existiert das uneigentliche Integral [mm]\int_{0}^{1} x^z\, dx [/mm] |
Spontan würde ich natürlich einfach [mm] x^z [/mm] integrieren als wäre [mm]z[/mm] reell, aber das geht hier wohl nicht - warum?
und zum Zweiten: warum sollte das Integral nicht existieren!? Ich stehe bei der Aufgabe leider völlig auf dem Schlauch - wäre nett wenn mir jmd n paar Tipps geben könnte :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Fr 23.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]z\in\IC[/mm].
>
> 1) Finde eine Stammfunktion zu [mm]f:(0,\infty)\to\IC , f(x)=x^z[/mm]
>
> 2) Für welche [mm]z[/mm] existiert das uneigentliche Integral
> [mm]\int_{0}^{1} x^z\, dx[/mm]
>
>
> Spontan würde ich natürlich einfach
> [mm]x^z[/mm] integrieren als wäre [mm]z[/mm] reell, aber das geht hier wohl
> nicht - warum?
So groß ist der Unterschied nicht. Was wäre denn die Stammfunktion für reelle z? Ist das auch eine Stammfunktion für beliebige komplexe Werte von z?
> und zum Zweiten: warum sollte das Integral nicht
> existieren!?
Schränke dich doch zunächst mal auf den Fall [mm] $z\in\IR$ [/mm] ein: Für welche reellen Werte von z existiert das Integral? Wie sieht das aus, wenn du nun komplexe Werte nimmst?
Viele Grüße
Rainer
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hi! Danke schonmal, allerdings komm ich noch nicht ganz drauf:
> So groß ist der Unterschied nicht. Was wäre denn die
> Stammfunktion für reelle z? Ist das auch eine Stammfunktion
> für beliebige komplexe Werte von z?
Stammfunktion wäre ja einfach [mm]\bruch{1}{z+1} x^{z+1}[/mm]
Die gilt dann doch für alle [mm]z[/mm] außer die mit Realteil -1 und Imaginärteil 0!?
> Schränke dich doch zunächst mal auf den Fall [mm]z\in\IR[/mm] ein:
> Für welche reellen Werte von [mm]z[/mm] existiert das Integral? Wie
> sieht das aus, wenn du nun komplexe Werte nimmst?
Das Integral existiert wohl für alle reellen [mm]z[/mm], also für alle [mm]z[/mm] aus [mm] \IC [/mm] mit Imginärteil 0?
Irgendwas habe ich doch bestimmt nicht beachtet, oder? Das wäre ja sonst viel zu einfach...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Sa 24.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hi! Danke schonmal, allerdings komm ich noch nicht ganz
> drauf:
>
> > So groß ist der Unterschied nicht. Was wäre denn die
> > Stammfunktion für reelle z? Ist das auch eine Stammfunktion
> > für beliebige komplexe Werte von z?
>
>
> Stammfunktion wäre ja einfach [mm]\bruch{1}{z+1} x^{z+1}[/mm]
Und was passiert im Fall z=-1?
> Die
> gilt dann doch für alle [mm]z[/mm] außer die mit Realteil -1 und
> Imaginärteil 0!?
Ja. Wie ist denn die Potenz für komplexe Exponenten definiert?
> > Schränke dich doch zunächst mal auf den Fall [mm]z\in\IR[/mm] ein:
> > Für welche reellen Werte von [mm]z[/mm] existiert das Integral? Wie
> > sieht das aus, wenn du nun komplexe Werte nimmst?
>
>
> Das Integral existiert wohl für alle reellen [mm]z[/mm],
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es existiert für alle reellen z mit $z>-1$. (Warum?)
Benutze die Definition der Potenz für komplexe Exponenten, um auf beliebige komplexe Werte von z zu schließen!
Viele Grüße
Rainer
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| Aufgabe | Sei [mm]z\in\IC[/mm].
1) Finde eine Stammfunktion zu [mm]f:(0,\infty)\to\IC , f(x)=x^z[/mm]
2) Für welche [mm]z[/mm] existiert das uneigentliche Integral [mm]\int_{0}^{1} x^z\, dx [/mm] |
Hallo!
Danke erstmal für deine bisherige Hilfe, aber irgendwie wills mir nicht klar werden:
zu 1.)
> > Die
> > gilt dann doch für alle [mm]z[/mm] außer die mit Realteil -1 und
> > Imaginärteil 0!?
>
> Ja. Wie ist denn die Potenz für komplexe Exponenten
> definiert?
>
[mm]x^z = e^{z*log x}[/mm]
wenn ich [mm]e^{z*log x}[/mm] integriere komme ich für die stammfunktion auf [mm]\bruch{1}{z*log x} * e^{z*log x}[/mm], was ja nicht dasselbe ist wie [mm]\bruch{1}{z+1}*x^{z+1}[/mm] - und deswegen weiß ich da auch gerade nicht weiter
> > > Schränke dich doch zunächst mal auf den Fall [mm]z\in\IR[/mm] ein:
> > > Für welche reellen Werte von [mm]z[/mm] existiert das Integral? Wie
> > > sieht das aus, wenn du nun komplexe Werte nimmst?
> >
> >
> > Das Integral existiert wohl für alle reellen [mm]z[/mm],
>
> Es existiert für alle reellen z mit [mm]z>-1[/mm]. (Warum?)
>
stimmt, haste Recht, da war ich wohl zu vorschnell...
> Benutze die Definition der Potenz für komplexe Exponenten,
> um auf beliebige komplexe Werte von z zu schließen!
>
dann habe ich [mm]\int_{0}^{1} e^{z*logx}\, dx [/mm]
irgendwie glaube ich ich sollte erstmal im teil 1 die stammfunktion auf die reihe bekommen, bevor ich versuche mit der existenz des integrals zu hantieren...
für die stammfunktion [mm]\bruch{1}{z+1}*x^{z+1}[/mm] könnte ich ja z=-1+i0 ausschließen,
für die stammfunktion [mm]\bruch{1}{z*log x} * e^{z*log x}[/mm] jedoch z=0+i0
irgendwie glaub ich, ich mach mir hier gerade selbst alles zu kompliziert :(
wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
was mich auch verwirrt ist dass der log an Stelle 0 doch eigentlich gar nicht definiert ist und log 1 sogar 0 ergibt, was meine 2. mögliche stammfunktion schonmal ziemlich alt aussehen lassen würde...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 So 25.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]z\in\IC[/mm].
>
> 1) Finde eine Stammfunktion zu [mm]f:(0,\infty)\to\IC , f(x)=x^z[/mm]
>
> 2) Für welche [mm]z[/mm] existiert das uneigentliche Integral
> [mm]\int_{0}^{1} x^z\, dx[/mm]
> Hallo!
>
> Danke erstmal für deine bisherige Hilfe, aber irgendwie
> wills mir nicht klar werden:
>
> zu 1.)
>
> > > Die
> > > gilt dann doch für alle [mm]z[/mm] außer die mit Realteil -1 und
> > > Imaginärteil 0!?
> >
> > Ja. Wie ist denn die Potenz für komplexe Exponenten
> > definiert?
> >
>
> [mm]x^z = e^{z*log x}[/mm]
>
> wenn ich [mm]e^{z*log x}[/mm] integriere komme ich für die
> stammfunktion auf [mm]\bruch{1}{z*log x} * e^{z*log x}[/mm],
Das kann gar nicht sein, denn die Ableitung ergibt nicht [mm] $e^{z*log x}$. [/mm]
Aber du hast meine Frage noch nicht beantwortet, was im Fall z=-1 passiert.
Deine Antwort war schon richtig (außer für z=-1), aber du sollst anhand der Definition der Potenz nachweisen, dass es eine Stammfunktion ist.
Viele Grüße
Rainer
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Uff, stell ich mich grad blöd an ;)
> Hallo!
>
> > Sei [mm]z\in\IC[/mm].
> >
> > 1) Finde eine Stammfunktion zu [mm]f:(0,\infty)\to\IC , f(x)=x^z[/mm]
>
> >
> > 2) Für welche [mm]z[/mm] existiert das uneigentliche Integral
> > [mm]\int_{0}^{1} x^z\, dx[/mm]
> > Hallo!
> >
> > Danke erstmal für deine bisherige Hilfe, aber irgendwie
> > wills mir nicht klar werden:
> >
> > zu 1.)
> >
> > > > Die
> > > > gilt dann doch für alle [mm]z[/mm] außer die mit Realteil -1 und
> > > > Imaginärteil 0!?
> > >
> > > Ja. Wie ist denn die Potenz für komplexe Exponenten
> > > definiert?
> > >
> >
> > [mm]x^z = e^{z*log x}[/mm]
> >
> > wenn ich [mm]e^{z*log x}[/mm] integriere komme ich für die
> > stammfunktion auf [mm]\bruch{1}{z*log x} * e^{z*log x}[/mm],
>
> Das kann gar nicht sein, denn die Ableitung ergibt
> nicht [mm]e^{z*log x}[/mm].
>
> Aber du hast meine Frage noch nicht beantwortet, was im
> Fall z=-1 passiert.
>
> Deine Antwort war schon richtig (außer für z=-1), aber du
> sollst anhand der Definition der Potenz nachweisen, dass es
> eine Stammfunktion ist.
Hm, ok wenn ich also von meiner Stammfunktion [mm]\bruch{1}{z+1} x^{z+1}[/mm] ausgehe...
bei z=-1 ist sie nicht definiert, durch null darf ich ja nicht teilen.
und wenn ich die Stammfunktion ableite:
[mm](\bruch{1}{z+1}*x^{z+1})'
= (\bruch{1}{z+1}*e^{(z+1)*log x})'
= (log x)' * e^{(z+1)*log x}
= \bruch{1}{x} * e^{(z+1)*log x}
= \bruch{1}{x} * x^{z+1}
= x^z
[/mm]
soweit also alles klar.
kann ich jetzt einfach sagen die stammfkt ist ... für alle z außer z=-1?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 So 25.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Uff, stell ich mich grad blöd an ;)
>
> > Hallo!
> >
> > > Sei [mm]z\in\IC[/mm].
> > >
> > > 1) Finde eine Stammfunktion zu [mm]f:(0,\infty)\to\IC , f(x)=x^z[/mm]
>
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> > >
> > > 2) Für welche [mm]z[/mm] existiert das uneigentliche Integral
> > > [mm]\int_{0}^{1} x^z\, dx[/mm]
> > > Hallo!
> > >
> > > Danke erstmal für deine bisherige Hilfe, aber irgendwie
> > > wills mir nicht klar werden:
> > >
> > > zu 1.)
> > >
> > > > > Die
> > > > > gilt dann doch für alle [mm]z[/mm] außer die mit Realteil -1 und
> > > > > Imaginärteil 0!?
> > > >
> > > > Ja. Wie ist denn die Potenz für komplexe Exponenten
> > > > definiert?
> > > >
> > >
> > > [mm]x^z = e^{z*log x}[/mm]
> > >
> > > wenn ich [mm]e^{z*log x}[/mm] integriere komme ich für die
> > > stammfunktion auf [mm]\bruch{1}{z*log x} * e^{z*log x}[/mm],
> >
> > Das kann gar nicht sein, denn die Ableitung ergibt
> > nicht [mm]e^{z*log x}[/mm].
> >
> > Aber du hast meine Frage noch nicht beantwortet, was im
> > Fall z=-1 passiert.
> >
> > Deine Antwort war schon richtig (außer für z=-1), aber du
> > sollst anhand der Definition der Potenz nachweisen, dass es
> > eine Stammfunktion ist.
>
>
> Hm, ok wenn ich also von meiner Stammfunktion
> [mm]\bruch{1}{z+1} x^{z+1}[/mm] ausgehe...
>
> bei z=-1 ist sie nicht definiert, durch null darf ich ja
> nicht teilen.
>
> und wenn ich die Stammfunktion ableite:
> [mm](\bruch{1}{z+1}*x^{z+1})'
= (\bruch{1}{z+1}*e^{(z+1)*log x})'
= (log x)' * e^{(z+1)*log x}
= \bruch{1}{x} * e^{(z+1)*log x}
= \bruch{1}{x} * x^{z+1}
= x^z
[/mm]
>
> soweit also alles klar.
> kann ich jetzt einfach sagen die stammfkt ist ... für alle
> z außer z=-1?
Ja, weil diese Stammfunktion für alle [mm] $x\in(0,\infty)$ [/mm] und [mm] $z\in \→C\backslash\{-1\}$ [/mm] wohldefiniert ist. Das ist wichtig, denn es würde zum Beispiel nicht funktionieren, wenn der Punkt x=0 dazugehören würde.
So, und was ist jetzt die Stammfunktion im Fall z=-1? Dann ist deine Funktion ja reell.
Viele Grüße
Rainer
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| Aufgabe | Sei [mm]z\in\IC[/mm].
2) Für welche [mm]z[/mm] existiert das uneigentliche Integral [mm]\int_{0}^{1} x^z\, dx [/mm] |
> So, und was ist jetzt die Stammfunktion im Fall z=-1? Dann
> ist deine Funktion ja reell.
(log(x))' = x^(-1) 
Danke für deine Hilfe!
Und jetzt nochmal zum zweiten Teil der Aufgabe:
Also, es existiert für alle [mm]z[/mm] mit [mm]Im(z)\not=0[/mm] oder für alle [mm]z\in\IR >-1[/mm]
Stimmt das soweit? Dann müsste ich das auf jeden Fall noch zeigen.
Der erste Teil ergibt sich ja aus der ersten Teilaufgabe, nur der zweite Teil wäre dann noch zu zeigen...
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
