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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 Sa 24.07.2004 | | Autor: | Yvi |
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
In einer Vorlesung sitzen 10 Studenten folgenden Alters:
19 20 20 21 21 21 23 23 24 28
b) Berechnen Sie den Median und das arithmetische Mittel
Median = 21 arithmetisches Mittel = 22
c) Es kommt ein weiterer Student hinzu. Wie alt muss er sein, damit die
Standardabweichung unverändert bleibt (mit Begründung)?
Wenn ich jetzt auf das arithmetische Mittel einfach die Standardabweichung draufrechne, dann müsste die Standardabweichung doch gleich bleiben, oder?
Wie geht das?
*g*
Yvi
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also median und arithmetisches mittel ausrechnen ist dir klar, entnehme ich deinen zeilen.
also, als erstes rechne ich mir mal die standarabweichung aus.
die standardabw ist die wurzel aus der varianz. die varianz ist so definiert.
es handelt sich hier um die quadrierten, aufsummierten abweichungen vom mittelwert dividiert durch n-1 , dann ist die varianz auch zugleich erwartungstreu.
formal: Summe von 1 bis n von (Xi - Xquer)² / n-1
deine standardabweichung hier lautet: 2,5788
<<Wenn ich jetzt auf das arithmetische Mittel einfach die <<Standardabweichung draufrechne, dann müsste die <<Standardabweichung doch gleich bleiben, oder?
um nicht zu weit ins detail zu gehen. denke dir deinen mittelwert mit 22 und links und rechts geht die standardabweichung weg. somit haben wir ein intervall von ca.19,5 bis 24,5. in diesem intervall liegt der hauptanteil deiner daten. also hat deine obige aussage wenig gültigkeit.
also wenn ich jetzt richtig liege, was nicht sicher sein muss  , dann würde ich dir folgendes sagen
sobald eine person dazu kommt, ändert sich automatisch seine standardabweichung, selbst wenn es der wert des arithmetischen mittels ist, da die standardabweichung durch n-1 dividiert wird und somit variabel ist.
falls das hier nicht stimmt, bitte korrigiert mich.
ansonsten hoffe ich dir ein wenig weitergeholfen zu haben
ganz liebe grüße
magister
bei weiteren fragen oder unklarheiten, einfach posten, ich versuch es dann besser zu beantworten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Sa 24.07.2004 | | Autor: | Yvi |
Hallo,
vielen Dank. Also das mit den n-1 verstehe ich nicht so ganz. Zitat von unserem Prof.:"Es gibt zwei verschiedene Varianzen. Bei der ersten wird das arithmetische Mittel - Abweichung des arithmetischen Mittels zum Quadrat durch n geteilt. Bei der zweiten wird die Summe der quadrierten Abweichung durch n-1 geteilt statt durch n. Man kann zeigen, dass man so im Fall einer Stichprobe eine bessere Schätzung für die Varianz der größeren Datenmenge erhält, aus der die Stichprobe gezogen ist."
Was heißt das jetzt?
Weiterhin: "Die Standardabweichung bleibt bei der Addition einer Konstanten zu den Ausgangsdaten unverändert und ändert sich bei Multiplikationen aller Ausgangsdaten mit einem positiven Faktor a um den gleichen Faktor a."
?????????Was bedeutet das? Ändert das was an Deiner Antwort? Was für eine Konstante kann ich mir da vorstellen? Ich kann besser mit konkreten Beispielen arbeiten. Diese Formeln mit den griechischen Buchstaben iritieren mich immer. Nebenbei, was bedeutet eigentlich ein i unter diesem Summenzeichen? [mm] \summe_{i} [/mm] ?
*g*
Yvi
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das was dein prof sagt stimmt schon, dass es die beiden varianten gibt.
Die Varianzvariation wo wir mit l1/n-1 multiplizieren ist für große Stichproben.
Erwartungstreu heisst, dass wenn wir eine stichprobe haben mit umfang n und mittel mü, und wir ziehen diese stichprobe viel öfters, dann ist das mittel nicht n* mü, sondern wieder mü....das ist ein erwartungstreuer mittelwert.
bsp: summe von i = 1,...,3 von (xi - xquer)
das heisst du sollte (x1 - xquer) + (x2 - xquer)und (x3 - yquer) aufsummieren
deine frage, falls noch eine offen ist, ist mir nicht mehr ganz klar.
formuliere sieh bitte etwas um.
lg magister
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 So 25.07.2004 | | Autor: | Yvi |
Danke für Deine vielen Antworten. Ich kam nicht ins Internet, weil mein Splitter den Geist aufgegeben hatte, sorry.
Also meine Frage ist: Wenn ich auf den Mittelwert eine Zahl aufaddiere, bleibt dann die Standardabweichung gleich?
Wenn ich den Mittelwert multipliziere, ändert sich dann auch die Standardabweichung um den glichen Faktor? Oder wie war der Satz unten gemeint?
"Die Standardabweichung bleibt bei der Addition einer Konstanten zu den Ausgangsdaten unverändert und ändert sich bei Multiplikationen aller Ausgangsdaten mit einem positiven Faktor a um den gleichen Faktor a."
Was ist genau eine Konstante? Kann ich auch etwas aufaddieren, dass keine Konstante ist? Kennst Du ein Beispiel?
Bleibst Du jetzt bei Deiner Aussage?
"also wenn ich jetzt richtig liege, was nicht sicher sein muss , dann würde ich dir folgendes sagen
sobald eine person dazu kommt, ändert sich automatisch seine standardabweichung, selbst wenn es der wert des arithmetischen mittels ist, da die standardabweichung durch n-1 dividiert wird und somit variabel ist.
falls das hier nicht stimmt, bitte korrigiert mich."
*g*
Yvi
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Grüße!
Der von Dir zitierte Satz bezieht sich auf die gesamte Stichprobe. Das heißt, wenn ich eine Konstante zu JEDEM Element der Stichprobe addiere, ändert sich die Standardabweichung nicht.
Ein Beispiel: Du betrachtest dieselbe Vorlesung, nur 2 Jahre später (nehmen wir mal an, es ist eine sehr lange Vorlesung und es kommen keine Studenten dazu oder springen ab). Dann ist jeder Student 2 Jahre älter, also ist auch der Mittelwert um 2 größer, aber die Standardabweichung (diese mißt ja quasi die "Streuung" um den Mittelwert) ist gleich geblieben.
Ein anderes Beispiel mit Multiplikation: stell Dir nun vor, jeder Student wäre plötzlich doppelt so alt (naja, kein sehr realistisches Beispiel, aber rechnen wir mal damit). Dann vergrößert sich auch die Streuung um den Faktor 2.
Und das ist damit gemeint. Wenn Du Dir Deine Daten als Balkendiagramm vorstellst, heißt Addition einer Konstanten einfach, dass Du alles in eine Richtung verschiebst (dabei bleibt die Streuung natürlich gleich) und Multiplikation aller Daten heißt, dass Du die Datenmenge skalierst, also stauchst oder streckst, was natürlich auch die Streuung entsprechend ändert.
Zurück zur Aufgabe: selbst wenn ein Student mit dem Alter 22 hereinkommt (Mittelwert ändert sich nicht, da er 22 beträgt), wird sich die Streuung ändern - das sieht man daran, wenn man sich klarmacht was passiert, wenn plötzlich nicht einer sondern 100 22-jährige Studenten hereinkommen. Wieder änert sich das Mittel nicht, aber weil man so viele 22-jährige hat, ist die Stichprobe viel weniger weit gestreut.
Um also auszurechnen, welches Alter die Standardabweichung unberührt läßt, mußt Du quasi ein neues Alter einberechnen. Nimm einfach an, Du hast einen Studenten dabei (zusätzlich), der sein Alter nicht nennen will, daher nennst Du es x. Dann kannst Du die Standardabweichung einmal mit diesem und einmal ohne ihn ausrechnen. Letzteres gibt Dir die Abweichung Deiner ursprüunglichen Probe.
Dann kannst Du beide Teile gleichsetzen - links eine Gleichung, in der Dein x (das unbekannte Alter) vorkommt und rechts eine Zahl - die ursprüngliche Standardabweichung. Dein Ziel ist ja, dass die neue Standardabweichung der alten entspricht. (Deshalb das Gleichsetzen). Damit hast Du eine Gleichung mit einem x und kannst das auflösen - Voilà.
Falls noch fragen sind... einfach stellen!
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 So 25.07.2004 | | Autor: | Yvi |
Hi! Danke für die Beispiele. Das mit der Streuung kann ich mir jetzt vorstellen. Nur leider habe ich keinen blassen Schimmer wie die Gleichung aussehen soll. Außerdem ist es zig Jahre her, dass ich eine Gleichung nach einer unbekannten auflösen musste. In welcher Klasse macht man das?
Also wenn ich die Gleichung hätte, könnte ich das ja vielleicht noch.
Die Standardabweichung beträgt bei mir 2,489 und das arithmetische Mittel ist 22. Wie rechne ich die Standardabweichung mit x? Wie ist den die mittlere quadrierte Abweichung von X?
Bitte hilf mir nochmal!
*g*
Yvi
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Hallo an alle!
Also zunächst mal stelle ich fest, dass Du die zweite der diskutierten Formeln für die empirische Varianz benutzt hast, nämlich
[mm]s^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2.[/mm]
Diese Formel kann man auch umschreiben zu
[mm]s^2=\frac{1}{n}\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2-n\cdot \bar{x}^2\right).[/mm]
Das ist genau das gleiche, aber oft einfacher auszurechnen, weil man dann nicht $n$ Mal die Differenz bilden und quadrieren muss.
Hat man die Summen
[mm]\sum\limits_{i=1}^n x_i[/mm]
(für das arithmetische Mittel) und
[mm]\sum\limits_{i=1}^n x_i^2[/mm]
gegeben, muss man nur noch in obige Formel einsetzen und ist fertig.
Die Standardabweichung $s$ berechnet man dann einfach, indem die Wurzel gezogen wird. Aber das schenken wir uns hier mal. Denn wenn die empirische Varianz gleich ist, ist auch die Standardabweichung gleich. Du bekommst für die ursprüngliche Messreihe
[mm]\sum\limits_{i=1}^{10} x_i=220, \qquad \sum\limits_{i=1}^{10} x_i^2=4902[/mm]
also
[mm] $s^2=\frac{1}{10}(4902-10\cdot 22^2)=6.2$
[/mm]
heraus.
So, jetzt kommt das neue $x$ hinzu. Dadurch ändern sich obige Summen zu:
[mm]\sum\limits_{i=1}^{11} x_i=220+x[/mm]
und
[mm]\sum\limits_{i=1}^{11} x_i^2=4902+x^2[/mm]
Einsetzen in die Formel der empirischen Varianz liefert
[mm]s^2=\frac{1}{11}(4902+x^2 - 11\cdot \left(\frac{220+x}{11}\right)^2)[/mm]
Und da soll ja wieder derselbe Wert, also 6.2 rauskommen. Probier mal, ob Du das hinbekommst. Falls nicht, melde Dich wieder. Ab jetzt ist es "nur noch" auflösen (binomische Formel) und eine quadratische Gleichung lösen (pq-Formel z.B.)
Viel Erfolg 
Brigitte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Mo 26.07.2004 | | Autor: | Yvi |
Ich kann das nicht ! Hab morgen Klausur. Mit so einer Aufgabe!
Hilfe *g*
Yvi
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Liebe Yvi!
Das ist aber wirklich keine Zauberei, und um eine Deiner früher gestellten Frage zu beantworten, in welcher Klasse man Gleichungen nach irgendwas auflöst: in jeder ab Klasse 7 (schätze ich mal, vielleicht auch schon früher)!
Also, wir waren stehen geblieben bei der Gleichung
[mm]\frac{1}{11}(4902+x^2 - 11\cdot \left(\frac{220+x}{11}\right)^2)=6.2\quad |\cdot 11[/mm]
[mm]4902+x^2 - 11\cdot \left(\frac{220+x}{11}\right)^2=68.2[/mm]
[mm]4902+x^2 - 11\cdot \left(20+\frac{x}{11}\right)^2=68.2\quad | (a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/mm]
[mm]4902+x^2 - 11\cdot \left(400+\frac{40}{11}\,x + \frac{x^2}{121}\right)=68.2[/mm]
[mm]4902+x^2 - \left(4400+40x + \frac{x^2}{11}\right)=68.2[/mm]
[mm]\frac{10}{11}x^2 -40x+502=68.2\quad |-68.2[/mm]
[mm]\frac{10}{11}x^2 -40x+433.8=0 \quad |\cdot\frac{11}{10}[/mm]
[mm]x^2 -44x+477.18=0[/mm]
Wir haben also eine quadratische Gleichung der Form
[mm] x^2+px+q=0[/mm]
Lösungen erhält man über die pq-Formel
[mm]x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q},[/mm]
was hier wegen $p=-44$ und $q=477.18$ zu
[mm]x_{1/2}=22\pm\sqrt{6.82}[/mm]
führt. Wir haben also zwei Lösungen, die beide das Ausgangsproblem lösen. Entweder man gibt als 11. Wert
[mm] $x=22-\sqrt{6.82}\approx [/mm] 19.39$ oder [mm] $x=22+\sqrt{6.82}\approx [/mm] 24.61$ hinzu.
Alles klar?
Liebe Grüße
Brigitte
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