Standardabweichung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:20 Fr 22.08.2008 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Standardabweichung um den Erwartungswert:
$|X-6,5| < 1,51$
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Ehm, ja. Sorry für die chaotische Angabe, bloß konnte ich hier kein kleines Sigma finden, um die allg. Form für die "Standardabweichung um den Erwartungswert" angeben zu können.
Ich würde bloß gerne wissen, wieso...
$|X-6,5| < 1,51$
...gleichbedeutend ist, mit:
$6,5-1,51 < X < 6,5+1,51$
Ganz einfach: Warum?
Ich komm nicht so ganz dahinter, weshalb das so umgestellt werden darf.
Würde mich über eine kleine(ausführliche) Erläuterung/Aufklärung freuen, Danke. :)
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Hallo ChopSuey,
Allg. bedeutet [mm] $|x-a|<\varepsilon$ [/mm] geometrisch, dass x näher an a liegt als [mm] \varepsilon, [/mm] dass x, also in dem um a symmetrischen Intervall [mm] $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ [/mm] liegt
Also [mm] $a-\varepsilon [/mm] < x < [mm] a+\varepsilon$
[/mm]
Zeiche es dir mal am Zahlenstrahl auf
Wenn du es genau rechnerisch herleiten willst, löse den Betrag auf:
Es ist ja [mm] $|X-6,5|=\begin{cases} X-6,5 & \mbox{für } X\ge 6,5 & 6,5-X &\mbox{für } X<6,5 \end{cases}$
[/mm]
Damit ergibt sich für deine Ungleichung:
1.Fall: [mm] $X\ge [/mm] 6,5$:
Dann ist $|X-6,5| < 1,51$ äquivalent zu $X-6,5<1,51$, also $X<6,5+1,51$
Insgesamt hast du für den 1.Fall also [mm] $X\in[6,5/6,5+1,51)$
[/mm]
2.Fall: $X<6,5$:
Dann ist $|X-6,5| < 1,51$ äquivalent zu $6,5-X<1,51$, also $X>6,5-1,51$
Im 2.Fall hast du also [mm] $X\in [/mm] (6,5-1,51/6,5)$
Die (Gesamt-)Lösungsmenge ergibt sich als Vereinigung der Einzellösungen, also [mm] $X\in(6,5-1,51/6,5)\cup[6,5/6,5+1,51]$
[/mm]
Also [mm] $X\in(6,5-1,51/6,5+1,51)$
[/mm]
Bzw. anders ausgedrückt: $6,5-1,51 < X < 6,5+1,51$
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:43 Fr 22.08.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hi schachuzipus,
vielen Dank!  Klasse Erläuterung, habs verstanden, super!!
Herzlichen Dank.
Grüße
ChopSuey
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Hallo nochmal,
Ein kleines Sigma bekommst du übrigens so hin: \sigma
Das ergibt [mm] $\sigma$ [/mm] 
Gruß und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:38 Sa 23.08.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hi,
eine Frage hätte ich da noch, da ich glaub ich noch ein kleines Verständnisproblem beim Auflösen der Beträge hab:
[mm] $|X-6,5|=\begin{cases} X-6,5 & \mbox{für } X\ge 6,5 & 6,5-X &\mbox{für } X<6,5 \end{cases}$ [/mm]
dürfte das ganze auch wie folgt aussehen...
[mm] $|X-6,5|=\begin{cases} X-6,5 & \mbox{für } X\ge 6,5 & -X+6,5 &\mbox{für } X<6,5 \end{cases}$ [/mm]
?
Und ist $|X-6,5|$ nur deshalb äquivalent zu $6,5 - X$, weil gilt: $|-a| = a$ (also alle vorzeichen umgedreht werden...??)
Gruß
ChopSuey
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Hallo nochmal,
> Hi,
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> eine Frage hätte ich da noch, da ich glaub ich noch ein
> kleines Verständnisproblem beim Auflösen der Beträge hab:
>
> [mm]|X-6,5|=\begin{cases} X-6,5 & \mbox{für } X\ge 6,5 & 6,5-X &\mbox{für } X<6,5 \end{cases}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> dürfte das ganze auch wie folgt aussehen...
>
>
> [mm]|X-6,5|=\begin{cases} X-6,5 & \mbox{für } X\ge 6,5 & -X+6,5 &\mbox{für } X<6,5 \end{cases}[/mm]
Aber selbstverständlich, das sind ja dieselben Ausdrücke
Ob du nun $6,5-X$ oder $-X+6,5$ schreibst, ist doch egal (Kommutativgesetz der Addition)
>
> ?
>
> Und ist [mm]|X-6,5|[/mm] nur deshalb äquivalent zu [mm]6,5 - X[/mm], weil
> gilt: [mm]|-a| = a[/mm] (also alle vorzeichen umgedreht
> werden...??)
Ganz genau!
Wenn der Ausdruck, der im Betrag steht, negativ ist, so wird dieser (komplette) Ausdruck beim Auflösen des Betrags mit $-1$ multipliziert
>
> Gruß
> ChopSuey
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:08 Sa 23.08.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hi schachuzipus,
ich kann Dir nicht genug danken.
1000 Dank für die Hilfe
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