Standardabweichung: n oder n-1 < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:39 Mi 08.12.2004 | | Autor: | aldi |
Hallo,
ich habe mal eine Frage zur Berechnung der Standardabweichung:
Bei der Berechnung gibt es zwei Methoden, einmal wird mit 1/n multipliziert und an anderer Stelle wird 1/(n-1) verwendet. Wann ist welche Form anzuwenden? Und was ist der Unterschied? Zweite Form soll ja die gebräcusliche sein.... Bitte möglichst einfache Erklärungen, mein Mathe ist nicht das beste 
Danke schon mal im voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:43 Do 09.12.2004 | | Autor: | Betonkopf |
s.o.
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Hallo!
> ich habe mal eine Frage zur Berechnung der
> Standardabweichung:
> Bei der Berechnung gibt es zwei Methoden, einmal wird mit
> 1/n multipliziert und an anderer Stelle wird 1/(n-1)
> verwendet. Wann ist welche Form anzuwenden? Und was ist der
> Unterschied? Zweite Form soll ja die gebräcusliche sein....
> Bitte möglichst einfache Erklärungen, mein Mathe ist nicht
> das beste
>
> Danke schon mal im voraus!
Es gibt keine Empfehlung, wann man welche anwenden soll. Für große n ist der Unterschied ohehin zu vernachlässigen. Der Grund, warum zumindest Statistiker mit 1/(n-1) rechnen, ist eher theoretischer Natur.
Ich versuche mal, das anhand eines Beispiels zu erläutern. Nehmen wir mal den Münzwurf her, bei dem jede Seite mit Wkt. 0,5 fällt. Codieren wir das Ereignis Zahl durch 1 und das Ereignis Kopf durch 0, gilt also bei dieser fairen Münze
[mm]P(X=1)=P(X=0)=1/2.[/mm]
Der Erwartungswert (falls Du den nicht kennst, ist es sehr schwierig, Dir das Ganze näherzubringen) ist dann
[mm]E(X)=\frac{1}{2}\cdot 1+ \frac{1}{2}\cdot 0=\frac{1}{2}[/mm]
Wenn ich nun die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis Zahl nicht kenne, dann bekommen wir einen unbekannten Parameter in unser Experiment hinein. Wir nennen ihn mal $p$, so dass die Wahrscheinlichkeiten nun lauten:
[mm]P(X=1)=p\qquad P(X=0)=1-p.[/mm]
Nunmehr gilt
[mm]E(X)=p\cdot 1+ (1-p)\cdot 0=p,[/mm]
das heißt der gesuchte Parameter ist gerade der Erwartungswert von $X$.
Nun würden wir gerne wissen, wie man diesen Parameter $p$ schätzen kann, und zwar anhand von Beobachtungen (sagen wir n Münzwürfen). Wir interessieren uns also für die Anzahl, wie oft in diesen n Würfen Zahl gefallen ist. Intuitiv ist nun klar, dass das arithmetische Mittel der n Ausgänge
[mm]\frac{x_1+\ldots x_n}{n}[/mm]
(welches hier gerade der relativen Häufigkeit des Ereignisses Zahl entspricht) einen guten Schätzwert für $p$ liefert. Beispiel: Wir haben 100 mal geworfen und davon kam 52 Mal Zahl. Dann wäre der Schätzwert für $p$ 52/100=0,52.
Wann ein Schätzer als gut bezeichnet wird, wird in der Statistik anhand verschiedener Kriterien überprüft. Ich übersetze das mal so, dass der Schätzer im Mittel das richtige liefert, das heißt wenn ich 100000 Mal das arithmetische Mittel (mit festem n, z.B. 100) betrachte, dann kommt da im Mittel tatsächlich $p$ heraus. Genauer gesagt ist der Erwartungswert vom arithmetischen Mittel gerade wieder $p$.
So, jetzt haben wir also den Erwartungswert einer Zufallsvariablen geschätzt, und zwar über das arithmetische Mittel. Genauso benutzt man nun die empirische Varianz, um die Varianz einer Zufallsvariablen zu schätzen. Und hier hat sich eben herausgestellt, dass der Vorfaktor [mm] $\frac{1}{n-1}$ [/mm] im Mittel bessere Resultate liefert als der Vorfaktor [mm] $\frac{1}{n}$.
[/mm]
Das ist aber sicher alles sehr schwer zu verstehen, da Du wahrscheinlich von Schätzern noch gar nichts gehört hast. Aber vielleicht hast Du zumindest eine Ahnung bekommen, was da dahintersteckt.
Viele Grüße
Brigitte
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