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Standardbeweis der Algebra ?!: Verstehe ihn nur nicht ?!?!?
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 22:11 Di 18.01.2005
Autor: Raute50

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
(http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=30966)

NAbend!

Bitte wer kann mir folgendes erklären:

Sei R kommutativer RIng.
Es gilt I [mm] \subset [/mm] R maximales Ideal [mm] \gdw [/mm] R modulo I ist Körper

Hoffe ihr könnt mir bis Do Abend helfen !!!

Danke im Voraus!


#50

        
Bezug
Standardbeweis der Algebra ?!: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:46 Di 01.02.2005
Autor: pjoas

Hallo, leider komme ich etwas zu spät, aber vielleicht hilft dir der folgende Beweis doch etwas weiter.
Idee:
In der einen Richtung konstruiert man zu einem beliebigen Element aus R/I ein Inverses, in der anderen Richtung zeigt man, dass jedes I umfassende Ideal aus R bereits R ist, damit ist I maximal.

"=>"
Sei$I$ ein maximales Ideal. Sei [mm] $0\not=a+I\in [/mm] R/I$ beliebig mit [mm] ${a}\not\in{I}$. [/mm]
Betrachte das Ideal [mm] ${I}\subseteq{J}=I+(a)$. [/mm]
Es gilt [mm] ${I}\not={J}$ [/mm] und daher ${J}={R}$, da I maximal.
Dann ist [mm] $1\inJ$, [/mm] d.h. es existiert ein [mm] $b\inR$ [/mm] und ein [mm] $c\inI$ [/mm] mit $1=ba+c$.
Somit ist $(b+I)(a+I) = ba + I = 1 + I$. Also ist $b+I$ das Inverse zu $a+I$ und ${R}/{I}$ ein Körper.

"<="
Sei [mm] ${I}\subseteq{J}\subseteq{R}$ [/mm] ein Ideal mit [mm] $I\not=J$. [/mm] Sei weiterhin
[mm] $a\in{J\I}$. [/mm]
Dann ist [mm] $a+{I}\not=I$in${R}/{I}$. [/mm]
Da ${R}/{I}$ ein Körper ist, existiert ein [mm] $b\in{R}$mit [/mm]
$(b+I)(a+I)=ba+I=1+I$.
Es folgt, dass [mm] $1-ba\in{I}$, [/mm] also [mm] $1\in(a)+I\subseteq{J}$. [/mm]
Somit ist ${J}={R}$ und $I$ ist maximal.

Das ganze ist natürlich nicht auf meinem Mist gewachsen, aber diesen Beweis bzw. diese Idee wirst du überall finden, wo diese Aussage bewiesen werden soll.


Gruß, Patrick

Bezug
        
Bezug
Standardbeweis der Algebra ?!: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:03 Di 01.02.2005
Autor: pjoas

hmm ich haette vielleicht dem Forumtopic nachgehen sollen... hätte mir einiges an Zeit erspart ;)

...dummer Patrick... dummer Patrick ;)

Gruß, PJ

Bezug
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