Standardnormalverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 So 07.06.2009 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Sind die Zufallsgrößen [mm] \psi_1 [/mm] und [mm] \psi_2 [/mm] unkorreliert bzw. unabhängig, wenn gilt:
[mm] \psi_1~N(0,1) [/mm] und [mm] \psi_2=\psi_1^2-1 [/mm] |
Hallo,
Laut meinen Hefteraufzeichungen gilt für die Standardnormalverteilung [mm] E\psi_1=0 [/mm] und [mm] D^2\psi_1=E(\psi_1-E\psi_1)^2=E(\psi_1)^2=1
[/mm]
Damit ergibt sich:
[mm] cov(\psi_1,\psi_2)=E((\psi_1-E\psi_1)(\psi_2-E\psi_2))
[/mm]
[mm] =E(\psi_1(\psi_1^2-1-E(\psi_1^2-1))
[/mm]
[mm] =E(\psi_1(\psi_1^2-1-1+E(1))
[/mm]
[mm] =E(\psi_1(\psi_1^2-1))
[/mm]
[mm] =E\psi_1^3-E\psi_1
[/mm]
[mm] =E\psi_1^3
[/mm]
Welchen Wert nimmt jetzt [mm] E\psi_1^3 [/mm] an?
Grüß
DerGraf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 So 07.06.2009 | | Autor: | luis52 |
> Sind die Zufallsgrößen [mm]\psi_1[/mm] und [mm]\psi_2[/mm] unkorreliert bzw.
> unabhängig, wenn gilt:
>
> [mm]\psi_1~N(0,1)[/mm] und [mm]\psi_2=\psi_1^2-1[/mm]
> Hallo,
>
> Laut meinen Hefteraufzeichungen gilt für die
> Standardnormalverteilung [mm]E\psi_1=0[/mm] und
> [mm]D^2\psi_1=E(\psi_1-E\psi_1)^2=E(\psi_1)^2=1[/mm]
>
> Damit ergibt sich:
>
> [mm]cov(\psi_1,\psi_2)=E((\psi_1-E\psi_1)(\psi_2-E\psi_2))[/mm]
> [mm]=E(\psi_1(\psi_1^2-1-E(\psi_1^2-1))[/mm]
> [mm]=E(\psi_1(\psi_1^2-1-1+E(1))[/mm]
> [mm]=E(\psi_1(\psi_1^2-1))[/mm]
> [mm]=E\psi_1^3-E\psi_1[/mm]
> [mm]=E\psi_1^3[/mm]
>
> Welchen Wert nimmt jetzt [mm]E\psi_1^3[/mm] an?
0
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:04 Mo 08.06.2009 | | Autor: | DerGraf |
Hallo,
vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Und wie kommst du auf 0? [mm] E\psi^3 [/mm] kann ich ja leider nicht einfach mit [mm] E\psi*E\psi^2 [/mm] ausrechnen.
Gruß DerGraf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 Mo 08.06.2009 | | Autor: | luis52 |
> vielen Dank für deine schnelle Antwort.
> Und wie kommst du auf 0?
es ist [mm] $\operatorname{E}[\psi^3]=\int_{-\infty}^\infty z^3\varphi(z)\,dz$, [/mm] worin [mm] $\varphi$ [/mm] die Dichte der
Standardnormalverteilung ist. Schau dir mal den Integranden genauer an.
>[mm]E\psi^3[/mm] kann ich ja leider nicht
> einfach mit [mm]E\psi*E\psi^2[/mm] ausrechnen.
Nein, das nicht.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Mo 08.06.2009 | | Autor: | DerGraf |
[mm] \operatorname{E}[\psi^3]=\int_{-\infty}^\infty z^3\varphi(z)\,dz=\int_{-\infty}^\infty z^2*z\varphi(z)\,dz=-z^2\varphi(z)[_{-\infty}^{\infty}+2*\int_{-\infty}^\infty z\varphi(z)\,dz
[/mm]
im Integral steht ja nichst anderes als [mm] E\psi_1, [/mm] was ja 0 ist. Im Term vor dem Integral taucht das z nur als [mm] z^2 [/mm] auf, wodurch sich aus Symmetriegründen auch hier eine 0 ergibt, richtig?
Gruß
DerGraf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Mo 08.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
> [mm]\operatorname{E}[\psi^3]=\int_{-\infty}^\infty z^3\varphi(z)\,dz=\int_{-\infty}^\infty z^2*z\varphi(z)\,dz=-z^2\varphi(z)[_{-\infty}^{\infty}+2*\int_{-\infty}^\infty z\varphi(z)\,dz[/mm]
was ist denn das fuer eine Regel? Durchschaue ich nicht. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Es ist vielmehr
[mm] $\int_{-\infty}^\infty z^3\varphi(z)\,dz=\int_{-\infty}^0 z^3\varphi(z)\,dz+\int_{0}^\infty z^3\varphi(z)\,dz [/mm] $
und mit $u=-z$ und [mm] $\varphi(-u)=\varphi(u)$:
[/mm]
[mm] \begin{matrix}
\int_{-\infty}^0 z^3\varphi(z)\,dz
&=&-\int_{\infty}^0 (-u)^3\varphi(-u)\,du \\
&=&-\int_0^{\infty} u^3\varphi(u)\,du
\end{matrix}
[/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Mo 08.06.2009 | | Autor: | DerGraf |
Ich hatte es mit partieller Integration versucht, aber dein Weg sieht irgendwie noch einfacher aus :)
Vielen Dank für deine Hilfe!
Gruß DerGraf
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