Standardnormalverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Versicherungsverein habe n = 1000 Mitglieder, von denen jedes am Anfang des Jahres einen Mitgliedsbeitrag von b = 100€ entrichtet. Die Summe der im Laufe des Jahres anfallenden SChäden (Gesamtschaden) soll durch eine normalverteilte Zufallsgröße X mit dem Erwartungswert u= 70000 und Varianz [mm] o^2= 3*10^8 [/mm] €^2 modelliert werden.
Verwaltungkosten, Zinseffekte u.Ä. werden vernachlässigt.
a)Bestimmen Sie die Ruinwahrscheinlichkeit, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass der Gesamtschaden X die Gesamtbeitragszahlung übersteigt.
b)Wie hoch müsste der Mitgliedbeitrag mindestens sein, damit die Ruinwahrscheinlichkeit höchstens 0,1% beträgt? |
Ich weiß überhaupt nicht, wie ich vorgehen soll.
Bei a) würde ich erstmal die Wurzel aus [mm] o^2 [/mm] berechnen.
n müsste 1000 und b=100 sein.
Könnte man einfach sagen
P(X>n*b)= 1 - p(x<=n*b) = 1- I((n*b-u)/o) ???
b) macht mir spezielle Kopfschmerzen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Mo 18.07.2011 | | Autor: | Stoecki |
naja, ich war zwar nie ein stochastik-ass und sowas ist schon lange her, aber das hier solllte passen:
die eintrittshöhe des schadens ist N(70000, [mm] \sigma) [/mm] verteilt. P(X>100000)=1-P(X [mm] \le [/mm] 100000) stimmt schon mal. nächster schritt: standardisieren
also: [mm] =1-P(\bruch{X-70000}{\sigma} \le \bruch{100000-70000}{\sigma})
[/mm]
(oder wars durch [mm] \sigma^2 [/mm] ? ich bin mir eigentlich sicher es war [mm] \sigma, [/mm] aber schau besser noch mal nach)
links steht deine neue standardisierte zufallsvariable, rechts der x-wert der verteilung. ein blick in die normalverteilungstabelle (Verteilungsfunktion) und du hast die ruinwahrscheinlichkeit.
zur b)
hier hast du folgendes zu lösen: 0,1 = 1-P(z [mm] \le \bruch{y-70000}{\sigma})
[/mm]
z ist bekannt [mm] (z=\bruch{X-70000}{\sigma})
[/mm]
jetzt musst du y berechnen. also: blick auf die verteilungsfunktion. wann ist die 0,9? sei dies der wert x.
dann musst du nur noch die gleichung [mm] x=\bruch{y-70000}{\sigma} [/mm] nach y auflösen und das ist dein nötiges einzahlunsvolumen.
gruß bernhard
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Müsste das bei b) in diesem Fall dann nicht 0,001 heißen, weil doch von 0,1% die Rede ist?
Wenn das soweit stimmt, habe ich mit deiner super Erklärung die Aufgabe verstanden :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:01 Di 19.07.2011 | | Autor: | Stoecki |
jab, hast recht
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