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| Aufgabe | Es sei a= [mm] (v_{1}, v_2, v_3)mit v_1 =\vektor{1\\1 \\ 0}, v_2=\vektor{0\\1\\1}, v_3= \vektor{1\\1 \\ 1} [/mm] und f: [mm] \IR³-> \IR³ [/mm] linera mit [mm] f(v_1) [/mm] = [mm] \vektor{1\\-1\\0}, f(v_2)=\vektor{1\\0\\-1} [/mm] und [mm] f(v_3)=\vektor{0\\1\\-1} [/mm] geg.
Weiter sei e= [mm] (e_1, e_2, e_3) [/mm] die Standartbasis des [mm] \IR³.
[/mm]
Berechnen Sie A= [mm] _eM_a(f), [/mm] B= [mm] _eM_e(f), [/mm] C= [mm] _aM_e(f) [/mm] und D= [mm] _aM_a(f). [/mm] |
Bei dieser Aufgabe weiß ich auch nicht wie die gehen soll. Könnt ihr mir hier auch weiterhelfen? Wäre echt nett. Danke...
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> Es sei a= [mm](v_{1}, v_2, v_3)mit v_1 =\vektor{1\\1 \\ 0}, v_2=\vektor{0\\1\\1}, v_3= \vektor{1\\1 \\ 1}[/mm]
> und f: [mm]\IR³-> \IR³[/mm] linera mit [mm]f(v_1)[/mm] = [mm]\vektor{1\\-1\\0}, f(v_2)=\vektor{1\\0\\-1}[/mm]
> und [mm]f(v_3)=\vektor{0\\1\\-1}[/mm] geg.
> Weiter sei e= [mm](e_1, e_2, e_3)[/mm] die Standartbasis des [mm]\IR³.[/mm]
> Berechnen Sie A= [mm]_eM_a(f),[/mm] B= [mm]_eM_e(f),[/mm] C= [mm]_aM_e(f)[/mm] und D=
> [mm]_aM_a(f).[/mm]
Hallo,
es heißt Standar[d]!
Wenn ich die darstellende Matrix einer linearen Abbildung f suche,
welche mir angewendet auf Vektoren in Koordinaten bzgl. einer Basis [mm] A=(a_1,...a_n) [/mm]
Vektoren in Koordinaten bzgl. dieser Basis A ausgibt,
benötige ich [mm] f(a_i) [/mm] als Linearkombination von [mm] a_1, ...a_n.
[/mm]
Die entsprechenden Koeffizienten kommen dann in die i-te Spalte.
Wenn ich die darstellende Matrix einer linearen Abbildung f suche,
welche mir angewendet auf Vektoren in Koordinaten bzgl. einer Basis [mm] A=(a_1,...a_n) [/mm]
Vektoren in Koordinaten bzgl. einer Basis [mm] B=(b_1, ...,b_n) [/mm] ausgibt,
benötige ich [mm] f(a_i) [/mm] als Linearkombination von [mm] b_1, ...b_n.
[/mm]
Die entsprechenden Koeffizienten kommen dann in die i-te Spalte.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:40 Mo 18.06.2007 | | Autor: | D-C |
Ist das so richtig !? :
e=(e1,e2,e3)
a=(v1,v2,v3)
A= $ [mm] _eM_a(f), [/mm] $
A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
= [mm] \alpha1 [/mm] e1 + [mm] \alpha2 [/mm] e2 + [mm] \alpha3 [/mm] e3
= [mm] \alpha1 \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \alpha2 \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \alpha3 \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
= [mm] \vektor{\alpha1 \\ \alpha2 \\ \alpha3}
[/mm]
[mm] =\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } \vektor{\alpha1 \\ \alpha2 \\ \alpha3}
[/mm]
= [mm] (\alpha1 [/mm] 1 + [mm] \alpha2 [/mm] 0 + [mm] \alpha3 [/mm] 0 , [mm] \alpha1 [/mm] 0 + [mm] \alpha2 [/mm] 1 + [mm] \alpha3 [/mm] 0,
[mm] \alpha1 [/mm] 0 + [mm] \alpha2 [/mm] 0 + [mm] \alpha3 [/mm] 0)
[mm] =\alpha1 [/mm] v1 + [mm] \alpha2 [/mm] v2 + [mm] \alpha3 [/mm] v3
B= $ [mm] _eM_e(f), [/mm] $
B= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
= [mm] \alpha1 [/mm] e1 + [mm] \alpha2 [/mm] e2 + [mm] \alpha3 [/mm] e3
= [mm] \alpha1 \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \alpha2 \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \alpha3 \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
= [mm] \vektor{\alpha1 \\ \alpha2 \\ \alpha3}
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } \vektor{\alpha1 \\ \alpha2 \alpha3 }
[/mm]
= [mm] (\alpha1 [/mm] 1 + [mm] \alpha2 [/mm] 0 + [mm] \alpha3 [/mm] 0 , [mm] \alpha1 [/mm] 0 + [mm] \alpha2 [/mm] 1 + [mm] \alpha3 [/mm] 0,
[mm] \alpha1 [/mm] 0 + [mm] \alpha2 [/mm] 0 + [mm] \alpha3 [/mm] 0)
[mm] =\alpha1 [/mm] e1 + [mm] \alpha2 [/mm] e2 + [mm] \alpha3 [/mm] e3
C= $ [mm] _aM_e(f), [/mm] $
C= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }
[/mm]
= [mm] \alpha1 [/mm] v1 + [mm] \alpha2 [/mm] v2 + [mm] \alpha3 [/mm] v3
= [mm] \alpha1 \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \alpha2 \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \alpha3 \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
= [mm] \vektor{ \alpha1 + \alpha3 \\ \alpha1 + \alpha2 + \alpha3 \\ \alpha2 + \alpha3 }
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 } \vektor{ \alpha1 \\ \alpha2 \\ \alpha3 }
[/mm]
= [mm] (\alpha1 [/mm] 1 + [mm] \alpha2 [/mm] 0 + [mm] \alpha3 [/mm] 1 , [mm] \alpha1 [/mm] 1 + [mm] \alpha2 [/mm] 1 + [mm] \alpha3 [/mm] 1,
[mm] \alpha1 [/mm] 0 + [mm] \alpha2 [/mm] 1 + [mm] \alpha3 [/mm] 1)
=( [mm] \alpha1 [/mm] + [mm] \alpha3 [/mm] )e1 + ( [mm] \alpha1 [/mm] + [mm] \alpha2 [/mm] + [mm] \alpha3 [/mm] )e2 + ( [mm] \alpha2 [/mm] + [mm] \alpha3) [/mm] e3
D= $ [mm] _aM_e(f), [/mm] $
D= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }
[/mm]
= [mm] \alpha1 [/mm] v1 + [mm] \alpha2 [/mm] v2 + [mm] \alpha3 [/mm] v3
= [mm] \alpha1 \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \alpha2 \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \alpha3 \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
= [mm] \vektor{\alpha1 + \alpha3 \\ \alpha1 + \alpha2 + \alpha3 \\ \alpha2 + \alpha3}
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 } \vektor{\alpha1 \\ \alpha2 \\ \alpha3}
[/mm]
= [mm] (\alpha1 [/mm] 1 + [mm] \alpha2 [/mm] 0 + [mm] \alpha3 [/mm] 1 , [mm] \alpha1 [/mm] 1 + [mm] \alpha2 [/mm] 1 + [mm] \alpha3 [/mm] 1,
[mm] \alpha1 [/mm] 0 + [mm] \alpha2 [/mm] 1 + [mm] \alpha3 [/mm] 1)
=( [mm] \alpha1 [/mm] + [mm] \alpha3 [/mm] )v1 + ( [mm] \alpha1 [/mm] + [mm] \alpha2 [/mm] + [mm] \alpha3 [/mm] )v2 + ( [mm] \alpha2 [/mm] + [mm] \alpha3) [/mm] v3
Gruß
D-C
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Hallo,
ich fürchte, daß da einiges nicht richtig ist.
Bevor ich mich über Dein Post hermache, wäre es schön, wenn Du Deine Rechnungen mit ein paar Worten kommentieren würdest, damit ich Dir sinnvoll helfen kann.
Könntest Du z.B. in Worten beschreiben, was die Matrix [mm] _eM_a(f) [/mm] für Dich tun soll? (ch frage u.a. deshalb, weil für diese Dinge die Bezeichnungen so uneinheitlich sind, und weil ich nicht unnötig Verwirrung stiften möchte.)
Was bezweckst Du mit den Rechnungen, die auf die Mitteilung der jeweiligen Matrix folgen?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Mo 18.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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