Stationäre Punkte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 Di 26.07.2011 | | Autor: | mml2011 |
Hallo,
ich habe eine Frage zur Berechnung der stationären Punkte.
Ich habe die Hesse-Matrix aufgestellt, vorher alle Punkte bestimmt und dann schließlich eingesetzt.
Jetzt habe ich Probleme bei der Klassifikation der Punkte:
Wenn die Determinante positiv ist, liegt ja ein lokales Minimum vor.
Wenn die Determinante negativ ist, heißt es indefinit -> Sattelpunkt
Wann liegt denn ein lokales Maximum vor?
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Hallo mml2011,
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zur Berechnung der stationären
> Punkte.
> Ich habe die Hesse-Matrix aufgestellt, vorher alle Punkte
> bestimmt und dann schließlich eingesetzt.
> Jetzt habe ich Probleme bei der Klassifikation der
> Punkte:
>
> Wenn die Determinante positiv ist, liegt ja ein lokales
> Minimum vor.
Nein, das reicht nicht!
Wenn sie positiv definit ist, liegt ein lok. Min. vor, wenn sie negativ definit ist, ein lok. Max., wenn sie indefinit ist, ein Sattelpunkt.
Wenn sie semidefinit ist, bist du genatzt und musst dir auf anderem Wege überlegen, ob ein Extrempunkt vorliegt.
Und für die Untersuchung der Definitheit reicht es nicht, die Determinante zu berechnen.
Es gibt u.a. das "Hauptminorenkrit.", nach dem du die Hauptunterdeterminanten berechnen musst oder das "Eigenwertkrit.", bei dem die Vorzeichen der Eigenwerte dir Auskunft über die Definitheit der Hessematrix geben.
Am Besten, du schaust dir das nochmal an - etwa auf wikipedia:
http://de.wikipedia.org/wiki/Hesse-Matrix
> Wenn die Determinante negativ ist, heißt es indefinit ->
> Sattelpunkt
>
> Wann liegt denn ein lokales Maximum vor?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Di 26.07.2011 | | Autor: | mml2011 |
Genau so haben wir das jedoch in der Übung gemacht.
Gegeben war : h(x,y) = xy (4-x-y)
1. Gradient bestimmt + Stationäre Stellen
[mm] (x_1, y_1) [/mm] = (0,0)
[mm] (x_2,y_2)=(0,4)
[/mm]
[mm] (x_3,y_3)=(4,0)
[/mm]
[mm] (x_4,y_4)=(4/3 [/mm] , 4/3 )
Dann die Punkte in die Hesse- Matrix eingesetzt:
[mm] H_1 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 4 \\ 4 & 0 } [/mm] --> det [mm] H_1 [/mm] = -16 < 0 -> indefinit Satpnkt
[mm] H_2= \pmat{ -8 & -4 \\ -4 & 0 } [/mm] --> det [mm] H_2 [/mm] = -16 <0 -> " "
[mm] H_3 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -4 \\ -4 & -8 } [/mm] --> det [mm] H_3 [/mm] = -16 < 0 -> " "
[mm] H_4 [/mm] = [mm] \pmat{ -8/3 & -4/3 \\ -4/3 & -8/3 } [/mm] --> det [mm] H_4 [/mm] = 16 /3 > 0 --> lokales Minimum
So haben wir uns das in der Übung aufgeschrieben, das war also die Musterlösung.
Ich denke nicht, dass in der Prüfung mehr gefordert wird, aber jetzt sagst du ja, dass das nicht ausreicht...
Ich versteh auch immer noch nicht, wann Indefinitheit vorliegt, wenn da Etwas kleiner als Null rauskommt , kann es doch auch ein lokales Maximum sein oder nicht ...
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Hallo nochmal,
> Genau so haben wir das jedoch in der Übung gemacht.
>
> Gegeben war : h(x,y) = xy (4-x-y)
>
> 1. Gradient bestimmt + Stationäre Stellen
>
> [mm](x_1, y_1)[/mm] = (0,0)
> [mm](x_2,y_2)=(0,4)[/mm]
> [mm](x_3,y_3)=(4,0)[/mm]
> [mm](x_4,y_4)=(4/3[/mm] , 4/3 )
>
> Dann die Punkte in die Hesse- Matrix eingesetzt:
>
> [mm]H_1[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 4 \\
4 & 0 }[/mm] --> det [mm]H_1[/mm] = -16 < 0 ->
> indefinit Satpnkt
>
> [mm]H_2= \pmat{ -8 & -4 \\
-4 & 0 }[/mm] --> det [mm]H_2[/mm] = -16 <0 -> "
> "
>
> [mm]H_3[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & -4 \\
-4 & -8 }[/mm] --> det [mm]H_3[/mm] = -16 < 0 ->
> " "
Das gilt so speziell nur für [mm]2\times 2[/mm]-Matrizen, siehe etwa hier:
![[]](/images/popup.gif) klick
> [mm]H_4[/mm] = [mm]\pmat{ -8/3 & -4/3 \\
-4/3 & -8/3 }[/mm] --> det [mm]H_4[/mm] = 16 /3 > 0 --> lokales Minimum
>
>
> So haben wir uns das in der Übung aufgeschrieben, das war
> also die Musterlösung.
> Ich denke nicht, dass in der Prüfung mehr gefordert wird,
> aber jetzt sagst du ja, dass das nicht ausreicht...
Bei [mm]2\times 2[/mm]-Matrizen ist es ausreichend und kann dir die Rechnung verkürzen!
>
> Ich versteh auch immer noch nicht, wann Indefinitheit
> vorliegt, wenn da Etwas kleiner als Null rauskommt , kann
> es doch auch ein lokales Maximum sein oder nicht ...
Nimm mal die erste Matrix und prüfe das mit dem Eigenwertkrit.:
[mm]\pmat{ -\lambda & 4 \\
4 & -\lambda } \ \rightarrow \ \lambda^2-16=0[/mm], also [mm]\lambda=\pm 4[/mm]
Ein positiver, ein negativer Eigenwert, also indefinit.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Di 26.07.2011 | | Autor: | mml2011 |
Und woran sieht man das bei der 2. und 3. Matrix , dass es ein indefiniter Sattelpunkt ist ?
Könntest du das bitte auch noch einmal vorrechnen?
Vielen Dank
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Hallo nochmal,
> Und woran sieht man das bei der 2. und 3. Matrix , dass es
> ein indefiniter Sattelpunkt ist ?
> Könntest du das bitte auch noch einmal vorrechnen?
Nee, mach du das mal, rechne die Eigenwerte doch aus ....
Dauert etwas länger als mit der Kurzformel für [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen, ist aber der allg. Weg ...
Lohnt sich also, das mal zu rechnen!
> Vielen Dank
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:17 Mi 27.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] $A:=\pmat{ a & b \\ b & c }$ [/mm] eine reelle, symmetrische 2x2-Matrix. Dann gilt:
A ist genau dann
positiv definit, wenn a>0 und det(A)>0,
negativ definit, wenn a<0 und det(A)>0,
indefinit, wenn det(A)<0
ist.
FRED
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Hossa Fred,
gut erkannt!
Genau das steht (auch) auf der weiter oben verklinkten Seite 
Beste Grüße
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:36 Mi 27.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hossa Fred,
>
> gut erkannt!
>
> Genau das steht (auch) auf der weiter oben verklinkten
> Seite
>
> Beste Grüße
>
> schachuzipus
>
hallo, schachuzipus,
habs übersehen, aber was bitte ist eine " verklinkte " Seite ?
FRED
>
>
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Hallo,
> > Hossa Fred,
> >
> > gut erkannt!
> >
> > Genau das steht (auch) auf der weiter oben verklinkten
> > Seite
> >
> > Beste Grüße
> >
> > schachuzipus
> >
>
> hallo, schachuzipus,
>
> habs übersehen,
Kein Ding, wer weiß, ob der OP drauf geklickt hat ...
Sicherer, man serviert es nochmal mundgerecht ...
> aber was bitte ist eine " verklinkte "
> Seite ?
Das ist eine verlinkte Seite, auf die man klicken kann
Du weißt doch, dass das an meinem ADS in Verbindung mit der LRS liegt ...
>
> FRED
> >
> >
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:47 Mi 27.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
>
> > > Hossa Fred,
> > >
> > > gut erkannt!
> > >
> > > Genau das steht (auch) auf der weiter oben verklinkten
> > > Seite
> > >
> > > Beste Grüße
> > >
> > > schachuzipus
> > >
> >
> > hallo, schachuzipus,
> >
> > habs übersehen,
>
> Kein Ding, wer weiß, ob der OP drauf geklickt hat ...
>
> Sicherer, man serviert es nochmal mundgerecht ...
>
> > aber was bitte ist eine " verklinkte "
> > Seite ?
>
> Das ist eine verlinkte Seite, auf die man klicken kann
................. da hast Du Dich aber elegant aus der Sache rausgemogelt, Respekt .....
FRED
>
> Du weißt doch, dass das an meinem ADS in Verbindung mit
> der LRS liegt ...
>
> >
> > FRED
> > >
> > >
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo Fred,
> > > aber was bitte ist eine " verklinkte "
> > > Seite ?
> >
> > Das ist eine verlinkte Seite, auf die man klicken kann
>
>
> ................. da hast Du Dich aber elegant aus der
> Sache rausgemogelt, Respekt .....
>
>
> FRED
Hehe!
Danke, das war ein Spontaneinfall beim Tippen ..
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Mi 27.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
>
>
> > > > aber was bitte ist eine " verklinkte "
> > > > Seite ?
> > >
> > > Das ist eine verlinkte Seite, auf die man klicken kann
> >
> >
> > ................. da hast Du Dich aber elegant aus der
> > Sache rausgemogelt, Respekt .....
> >
> >
> > FRED
>
> Hehe!
>
> Danke, das war ein Spontaneinfall beim Tippen ..
Nicht so voreilig. Mir ist gerade aufgefallen, dass hier
https://matheraum.de/read?i=813464
nichts "verlinkt" ist ?!
Gruß FRED
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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Hoppa!
> Nicht so voreilig. Mir ist gerade aufgefallen, dass hier
>
> https://matheraum.de/read?i=813464
>
> nichts "verlinkt" ist ?!
Stimmt auch wieder, habe die url-tags vergessen ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Mi 27.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hoppa!
>
>
> > Nicht so voreilig. Mir ist gerade aufgefallen, dass hier
> >
> > https://matheraum.de/read?i=813464
> >
> > nichts "verlinkt" ist ?!
>
> Stimmt auch wieder, habe die url-tags vergessen ...
Na denn...... . Demnächst hab ich Urlaub, dann hab ich auch ganz viele url-tags.
FRED
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Mi 27.07.2011 | | Autor: | mml2011 |
hmm und was ist , wenn a= 0 ist und det = 0 ist ?
Zählt das dann auch noch als indefinit?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 Mi 27.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> hmm und was ist , wenn a= 0 ist und det = 0 ist ?
> Zählt das dann auch noch als indefinit?
Nein.
Es gibt symm. Matrizen, die weder positiv definit, noch negativ definit, noch indefinit sind. Beispiel ?
Dann kann man das Kriterium mit der Hessematrix nicht anwenden und muß sich was einfallen lassen.
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Mi 27.07.2011 | | Autor: | mml2011 |
Es geht um die folgende Aufgabe:
f(x,y)= [mm] 2x^3 [/mm] - 3xy + [mm] y^3 [/mm] -3
ges: alle stationären Punkte
Gradient von f(x,y) = ( [mm] 6x^2 [/mm] - 3y , [mm] 3x+3y^2)
[/mm]
Dann habe ich lediglich eine stationäre Stelle bei (0,0) ermitteln können.
Danach habe ich die Hesse-Matrix aufgestellt:
[mm] \pmat{ 12x & 3 \\ -3 & 6y }
[/mm]
Wenn man die Punkte einsetzt kommt man doch jetzt auf:
[mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
oder muss die 3 und -3 stehenbleiben?
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> Es geht um die folgende Aufgabe:
>
> f(x,y)= [mm]2x^3[/mm] - 3xy + [mm]y^3[/mm] -3
>
> ges: alle stationären Punkte
>
> Gradient von f(x,y) = ( [mm]6x^2[/mm] - 3y , [mm] \red{-}[/mm] [mm]3x+3y^2)[/mm]
Hallo,
beachte das Minuszeichen, welches ich eingefügt habe.
>
> Dann habe ich lediglich eine stationäre Stelle bei (0,0)
> ermitteln können.
Vielleicht rechnest Du mal vor. Ich bekomme nicht nur eine stationäre Stelle.
>
> Danach habe ich die Hesse-Matrix aufgestellt:
>
> [mm]\pmat{ 12x & 3 \\
-3 & 6y }[/mm]
Daß sie nicht symmetrisch ist, sollte Dich irritieren.
>
> Wenn man die Punkte einsetzt kommt man doch jetzt auf:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 \\
0 & 0 }[/mm]
>
> oder muss die 3 und -3 stehenbleiben?
Ja, natürlich! Wenn Du (x,y)=(0,0) einsetzt, dann ersetzt Du x und y jeweils durch die 0.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Mi 27.07.2011 | | Autor: | mml2011 |
Okay, also bei den stationören Stellen bin ich wie folgt vorgegangen:
1.Fall: x=0
[mm] 6x^2 [/mm] - 3y=0 ^ [mm] -3x+3y^2=0 [/mm] --> y= 0
2. Fall : y=0
liefert x--> 0
3. Fall : x [mm] \not=0 [/mm] , y [mm] \not=0 [/mm] auch x ^ y = 0
somit ist die Stelle (0,0)
was habe ich übersehen ? oder falsch gemacht
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> Okay, also bei den stationören Stellen bin ich wie folgt
> vorgegangen:
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> 1.Fall: x=0
>
> [mm]6x^2[/mm] - 3y=0 ^ [mm]-3x+3y^2=0[/mm] --> y= 0
>
>
> 2. Fall : y=0
>
> liefert x--> 0
>
>
> 3. Fall : x [mm]\not=0[/mm] , y [mm]\not=0[/mm] auch x ^ y = 0
>
> somit ist die Stelle (0,0)
??? ???
Hallo,
irgendwie "löst" Du das GS skurril...
Wir wollen
[mm] $6x^2$ [/mm] - 3y=0
[mm] $-3x+3y^2=0$
[/mm]
lösen.
Das System ist äquivalent zu
[mm] 2x^2-y=0
[/mm]
[mm] -x+y^2=0 [/mm] ==> [mm] x=y^2
[/mm]
[mm] x=y^2 [/mm] in die erste Gleichung eingesetzt liefert [mm] 0=2y^4-y=y(2y^3-1).
[/mm]
==> y=0 oder y= ???
1.Fall: y=0
Dann ist x= [mm] 0^2=0,
[/mm]
also ist (0,0) ein stationärer Punkt.
2. Fall: y=...
x=...^2= ...
Also ist (..., ...) ein stationärer Punkt.
Gruß v. Angela
>
>
> was habe ich übersehen ? oder falsch gemacht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Mi 27.07.2011 | | Autor: | mml2011 |
So haben wir das noch nie gemacht.
Wir haben immer diese drei Fälle abgearbeitet.
Aber nun ja:
[mm] 2y^4 [/mm] - y = [mm] y(2y^3 [/mm] -1 ) = 0
[mm] y_1= [/mm] 0 , [mm] y_2 =2y^3-1 [/mm] -> [mm] 2y^3=1 [/mm] -> [mm] y^3 [/mm] = 0.5 ( davon die 3. Wurzel?, wobei man keinen Taschenrechner benutzen darf? )
was mach ich schon wieder falsch ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Mi 27.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> So haben wir das noch nie gemacht.
> Wir haben immer diese drei Fälle abgearbeitet.
Das glaube ich nicht
> Aber nun ja:
>
> [mm]2y^4[/mm] - y = [mm]y(2y^3[/mm] -1 ) = 0
>
> [mm]y_1=[/mm] 0 , [mm]y_2 =2y^3-1[/mm] -> [mm]2y^3=1[/mm] -> [mm]y^3[/mm] = 0.5 ( davon die 3.
> Wurzel?, wobei man keinen Taschenrechner benutzen darf? )
>
> was mach ich schon wieder falsch ?
Bei welcher Aufgabe bist Du jetzt ??
Wenn Du die Lösungen der Gleichung [mm] $2y^4-y=0$ [/mm] bestimmen sollst, hast Du nichts falsch gemacht.
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Mi 27.07.2011 | | Autor: | mml2011 |
Ja ich bin bei der Aufgabe.
Also wäre weitere stellen +- 0, 79 .
So richtig dann ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Mi 27.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja ich bin bei der Aufgabe.
>
> Also wäre weitere stellen +- 0, 79 .
Die Gleichung [mm] y^3=1/2 [/mm] hat nur eine Lösung: [mm] y=\wurzel[3]{0,5 }\approx [/mm] 0,79
FRED
>
> So richtig dann ?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Mi 27.07.2011 | | Autor: | mml2011 |
Okay, dann ist mein [mm] x_2 [/mm] = 0, 63
und somit meine zwei Matrizen:
[mm] H_f(0,0)= \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] H_f(0.63 [/mm] , 0,79) = [mm] \pmat{ 7,56 & 0.63 \\ 0.79 & 4.74 }
[/mm]
die zweite ist ja positiv definit und somit ein lokales Minimum, aber was ist mit [mm] H_f(0,0)
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Okay, dann ist mein [mm]x_2[/mm] = 0, 63
>
> und somit meine zwei Matrizen:
>
> [mm]H_f(0,0)= \pmat{ 0 & 0 \\
0 & 0 }[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> [mm]H_f(0.63[/mm] , 0,79) = [mm]\pmat{ 7,56 & 0.63 \\
0.79 & 4.74 }[/mm]
Eine Hessematrix ist symmetrisch!
Da sieht man, dass du die Antworten nicht aufmerksam liest, was sehr ärgerlich ist und eigentlich ziemlich unverschämt gegenüber den Antwortgebern
Angela hat dich doch auf einen Vorzeichenfehler hingewiesen.
Die Einträge [mm]h_{12}[/mm] und [mm]h_{21}[/mm] in der Hessematrix sind konstant [mm]-3[/mm]
Dann ergibt sich für [mm]H_f(0,0)=\pmat{0&-3\\
-3&0}[/mm]
Hier solltest du mit Blick auf die Aufgabe aus der Übung und den zahlreichen Antworten in diesem thread dazu schnell etwas über die Definitheit sagen können.
Beim anderen stat. Punkt bzw. der Hessematrix in diesem Punkt lasse mal die Wurzeln stehen bzw. schreibe es als Potenzen.
Das gibt nachher in der Auswertung der Hauptminoren bzw. der Berechnung der Determinante schön glatte Werte
Dazu brauchst du keinen TR und nix, lediglich Stift und Papier ...
>
> die zweite ist ja positiv definit und somit ein lokales
> Minimum,
Das stimmt im Endeffekt wohl, aber deine Hessematrix ist falsch!
> aber was ist mit [mm]H_f(0,0)[/mm]
siehe oben
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Mi 27.07.2011 | | Autor: | mml2011 |
Tut mir leid, dass ich vor mich hingeträumt habe.
Jetzt müsste ich das aber wieder gut machen:
[mm] H_f(0,0)= \pmat{ 0 & -3 \\ -3 & 0 } [/mm] ist ein indefinit und ein Sattelpunkt
(Nachweis über Eigenwertkriterium : [mm] \lambda^2 [/mm] -9 -> [mm] \lambda=+-3)
[/mm]
[mm] H_f(0.63 [/mm] , 0.79) = [mm] \pmat{ 12*(0.5)^(2/3) & -3 \\ -3 & 6*((0.5)^(1/3)) }
[/mm]
liefert eine Determinante von 27 --> positiv definit und somit lokales Minimum.
Müsste soweit richtig sein, oder ?
Ich wollte dich wirklich nicht verärgern schachuzipus
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Hallo nochmal,
> Tut mir leid, dass ich vor mich hingeträumt habe.
>
>
> Jetzt müsste ich das aber wieder gut machen:
>
> [mm]H_f(0,0)= \pmat{ 0 & -3 \\
-3 & 0 }[/mm] ist ein indefinit und
> ein Sattelpunkt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> (Nachweis über Eigenwertkriterium : [mm]\lambda^2[/mm] -9 ->
> [mm]\lambda=+-3)[/mm]
Ganz recht!
>
> [mm]H_f(0.63[/mm] , 0.79) = [mm]\pmat{ 12*(0.5)^(2/3) & -3 \\
-3 & 6*((0.5)^(1/3)) }[/mm]
>
> liefert eine Determinante von 27 --> positiv definit und
> somit lokales Minimum.
Ja, weil auch [mm] $h_{11}=12\cdot{}0,5^{2/3}>0$
[/mm]
>
> Müsste soweit richtig sein, oder ?
Ja, endlich
>
> Ich wollte dich wirklich nicht verärgern schachuzipus
Ok, ich wollte dich auch nicht "ankacken", sondern dir nur nahebringen, dich aufmerksamer mit den Antworten auseinanderzusetzen.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Mi 27.07.2011 | | Autor: | mml2011 |
Da hat das "ankacken" ja was gebracht.
Jedoch habe ich noch eine weitere Frage zu diesem Thema:
Gegeben ist wieder : f(x,y) = [mm] x^2 [/mm] * e^(-2x) - [mm] y^2* [/mm] e^(-y)
Ich habe den Gradienten bestimmt:
f(x,y)= ( 2xe^(-2x) * (1-x) , ye^(-y)*(-2+y))
Dann habe ich einfach gesagt, wie in der vorherigen Aufgabe:
Dass 1-x ^ ( -2+y) zum GS äuqivalent ist
und daraus folgt, dass x=1 und y=2 ist.
Fall 1 : x=1
liefert y=0 --> somit erster Punkt (1,0)
Fall 2: y=2
(1-x)=2 --> somit (-1,2)
Fall 3: y=2
(-2+2)=0 --> ( 0, 2)
habe ich jetzt die kritischen Punkte richtig bestimmt ?
Und in der Aufgabestellung steht nch dass man die jeweiligen Tripel (x,y,f(x,y)) bestimmen soll. Was hat man darunter zu verstehen`?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Mi 27.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Da hat das "ankacken" ja was gebracht.
>
> Jedoch habe ich noch eine weitere Frage zu diesem Thema:
>
> Gegeben ist wieder : f(x,y) = [mm]x^2[/mm] * e^(-2x) - [mm]y^2*[/mm] e^(-y)
>
>
> Ich habe den Gradienten bestimmt:
>
> f(x,y)= ( 2xe^(-2x) * (1-x) , ye^(-y)*(-2+y))
>
> Dann habe ich einfach gesagt, wie in der vorherigen
> Aufgabe:
>
> Dass 1-x ^ ( -2+y) zum GS äuqivalent ist
Das ist eine völlig sinnlose Aussage !
>
> und daraus folgt, dass x=1 und y=2 ist.
Nein.
>
> Fall 1 : x=1
>
> liefert y=0 --> somit erster Punkt (1,0)
>
> Fall 2: y=2
>
> (1-x)=2 --> somit (-1,2)
>
> Fall 3: y=2
>
> (-2+2)=0 --> ( 0, 2)
>
> habe ich jetzt die kritischen Punkte richtig bestimmt ?
Wie Du da ran gehst ist völlig konfus. Etwas mehr Systematik wäre angebracht:
Es ist [mm] f_x(x,y)= [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x=0 oder x=1
Es ist [mm] f_y(x,y)=0 \gdw [/mm] y=0 oder y=2.
Somit sind die stationären Punkte:
(0,0), (0,2) , (1,0) und (1,2)
FRED
>
> Und in der Aufgabestellung steht nch dass man die
> jeweiligen Tripel (x,y,f(x,y)) bestimmen soll. Was hat man
> darunter zu verstehen'?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Mi 27.07.2011 | | Autor: | mml2011 |
Und wie bestimme ich den Tripel (x,y,f(x,y))
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Mi 27.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Und wie bestimme ich den Tripel (x,y,f(x,y))
Zum Beispiel für (x,y)=(1,2): es ist f(1,2)= [mm] -3e^{-2}, [/mm] also:
[mm] $(1,2,f(1,2))=(1,2,-3e^{-2})$.
[/mm]
War das nicht naheliegend ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Mi 27.07.2011 | | Autor: | mml2011 |
Anscheinend nicht..
Wie kommst du auf [mm] 3e^{-2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Mi 27.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Anscheinend nicht..
Na denn....
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> Wie kommst du auf [mm]3e^{-2}[/mm]
f(1,2)= $ [mm] -3e^{-2}, [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mi 27.07.2011 | | Autor: | mml2011 |
Ich weiß ich nerve euch alle schon, hoffentlich ist das auch meine letzte Frage :
Es geht um folgende Aufgabe:
f(x,y)= [mm] 2x^2 [/mm] + 10 [mm] y^2 [/mm] + 8xy + 4y +2
Ich habe die Gradienten bestimmt :
(4x+8y , 20y+8x+4)
und dann die stationären Punkte bestimmt:
(0,0)
(2,-1)
(0, -1/5)
die Hesse- Matrix lautet jedoch:
[mm] \pmat{ 4 & 8 \\ 8 & 20 }
[/mm]
ich habe keine x oder y, wo ich die stationären Punkte einsetzen kann.
An sich ist die Matrix ja positiv definit (lokales minimum)
Reicht das dann bei der Beantwortung der Frage nach Maxima, Minima etc?
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Hallo nochmal,
du solltest langsam mal einen neuen thread eröffnen, das ist schon die 3. oder 4. Aufgabe.
Bald wird es undurchschaubar ...
> Ich weiß ich nerve euch alle schon, hoffentlich ist das
> auch meine letzte Frage :
>
> Es geht um folgende Aufgabe:
>
> f(x,y)= [mm]2x^2[/mm] + 10 [mm]y^2[/mm] + 8xy + 4y +2
>
> Ich habe die Gradienten bestimmt :
>
> (4x+8y , 20y+8x+4)
>
> und dann die stationären Punkte bestimmt:
>
> (0,0)
Das liefert doch [mm] $f_y(0,0)=4\neq [/mm] 0$
> (2,-1)
> (0, -1/5)
Das gibt für [mm] $f_x$ [/mm] nicht 0 ...
Was hast du denn da gerechnet?
>
> die Hesse- Matrix lautet jedoch:
>
> [mm]\pmat{ 4 & 8 \\
8 & 20 }[/mm]
>
> ich habe keine x oder y, wo ich die stationären Punkte
> einsetzen kann.
Das kann passieren, die Hessematrix kann durchaus unabh. von $x,y$ sein
> An sich ist die Matrix ja positiv definit (lokales
> minimum)
> Reicht das dann bei der Beantwortung der Frage nach
> Maxima, Minima etc?
Ja, aber der einzige stationäre Punkt und damit das einzig infrage kommende Extremum liegt bei $(x,y)=(2,-1)$
Gruß
schachuzipus
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