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| Aufgabe | Geben Sie die stationären Punkte der Funktion
$ f(y) = [mm] \integral_{0}^{y - 1}{(x - 3)(x + 2)(x + 1) e^{-x^2} dx} [/mm] $,
an. Liegen Maxima oder Minima vor? Die Funktionswerte brauchen Sie nicht zu berechnen! |
Hallo zusammen.
Meine bisherige Vorgehensweise lautet wie folgt. Zunächst wende ich den verallgemeinerten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an:
$ G(x) = [mm] \integral_{a(x)}^{b(x)}{f(t) dt} \Rightarrow [/mm] G'(x) = f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x) $.
Also in disem Fall:
[mm] f(y) = \integral_{0}^{y - 1}{(x - 3)(x + 2)(x + 1) e^{-x^2} dx} [/mm]
[mm] \Rightarrow f'(y) = ((y - 1) - 3)((y - 1) + 2)((y - 1) + 1) e^{-(y - 1)^2} * 1 - 0 [/mm]
[mm] \gdw f'(y) = (y - 4)(y + 1)(y + 0) e^{-(y - 1)^2} [/mm].
Mit [mm] f'(y) = 0 [/mm] folgt:
$ [mm] y_{1} [/mm] = 4 $, $ [mm] y_{2} [/mm] = -1 $, $ [mm] y_{3} [/mm] = 0 $.
Somit wurden drei Stationärstellen gefunden.
Nun zu meinen eigentlichen Fragen:
1) Liegt an einem stationären Punkt immer ein Extremum vor? Ich würde hier auf 'nein' tippen, weil die Bedingung für einen stationären Punkt (nämlich $ f'(x) = 0 $) nur ein notwendiges und kein hinreichendes Kriterium für ein Extremum ist.
2) Wie würde ich also an dieser Stelle vorgehen um zu erkennen ob, und ja an welchen der stationären Punkte welche Art des Extremums auftritt ohne große Akrobatik zu betreiben? Der Kontext der Aufgabe suggeriert mir, dass das ein leichtes Unterfangen sein sollte.
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit, ich freue mich auf Euer Interesse.
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Hallo schneidross,
> Geben Sie die stationären Punkte der Funktion
> [mm]f(y) = \integral_{0}^{y - 1}{(x - 3)(x + 2)(x + 1) e^{-x^2} dx} [/mm],
>
> an. Liegen Maxima oder Minima vor? Die Funktionswerte
> brauchen Sie nicht zu berechnen!
>
> Hallo zusammen.
>
> Meine bisherige Vorgehensweise lautet wie folgt. Zunächst
> wende ich den verallgemeinerten Hauptsatz der Differential-
> und Integralrechnung an:
> [mm]G(x) = \integral_{a(x)}^{b(x)}{f(t) dt} \Rightarrow G'(x) = f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x) [/mm].
>
> Also in disem Fall:
> [mm]f(y) = \integral_{0}^{y - 1}{(x - 3)(x + 2)(x + 1) e^{-x^2} dx}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f'(y) = ((y - 1) - 3)((y - 1) + 2)((y - 1) + 1) e^{-(y - 1)^2} * 1 - 0[/mm]
>
> [mm]\gdw f'(y) = (y - 4)(y + 1)(y + 0) e^{-(y - 1)^2} [/mm].
> Mit
> [mm]f'(y) = 0[/mm] folgt:
> [mm]y_{1} = 4 [/mm], [mm]y_{2} = -1 [/mm], [mm]y_{3} = 0 [/mm].
> Somit wurden drei
> Stationärstellen gefunden.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun zu meinen eigentlichen Fragen:
> 1) Liegt an einem stationären Punkt immer ein Extremum
> vor? Ich würde hier auf 'nein' tippen, weil die Bedingung
> für einen stationären Punkt (nämlich [mm]f'(x) = 0 [/mm]) nur ein
> notwendiges und kein hinreichendes Kriterium für ein
> Extremum ist.
>
Ja, da tippst Du richtig.
> 2) Wie würde ich also an dieser Stelle vorgehen um zu
> erkennen ob, und ja an welchen der stationären Punkte
> welche Art des Extremums auftritt ohne große Akrobatik zu
> betreiben? Der Kontext der Aufgabe suggeriert mir, dass das
> ein leichtes Unterfangen sein sollte.
>
Das kannst Du über den Vorzeichenwechel von f'(y) machen.
> Vielen Dank für die Aufmerksamkeit, ich freue mich auf
> Euer Interesse.
Grus
MathePower
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